Quadr. & Bruchungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 17.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | a) [mm] $3|x^2 [/mm] - 2x + 2| [mm] \ge [/mm] 8$
b) [mm] $\bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x + 2} [/mm] < [mm] \bruch{2}{x + 2}$ [/mm] |
Hallo!
Ich hänge leider bei diesen beiden Ungleichungen fest, gesucht sind jeweils die Lösungsmengen aus reellen Zahlen die sie erfüllen.
a) ist immer erfüllt für alle x wie man sehen kann, aber wie beweist man es? Soll ich hier etwa alles nach einer Seite auflösen und anschließend die Nullstellen des Polynoms ausrechnen? Aber wie gehe ich danach vor?
Bei b) habe ich leider überhaupt keine Idee wie man das gescheit lösen könnte.
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo dump!
> a) [mm]3|x^2 - 2x + 2| \ge 8[/mm]
> b) [mm]\bruch{1}{x} + \bruch{1}{x + 2} < \bruch{2}{x + 2}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich hänge leider bei diesen beiden Ungleichungen fest,
> gesucht sind jeweils die Lösungsmengen aus reellen Zahlen
> die sie erfüllen.
>
> a) ist immer erfüllt für alle x wie man sehen kann, aber
> wie beweist man es? Soll ich hier etwa alles nach einer
> Seite auflösen und anschließend die Nullstellen des
> Polynoms ausrechnen? Aber wie gehe ich danach vor?
Also die Gleichung ist doch aequivalent zu $3 [mm] (x^2 [/mm] - 2 x + 2) [mm] \ge [/mm] 8 [mm] \vee [/mm] 3 [mm] (x^2 [/mm] - 2 x + 2) [mm] \le [/mm] -8$. Damit hast du zwei Ungleichungen ohne Betrag.
Um eine Ungleichung der Form [mm] $x^2 [/mm] + a x + b [mm] \ge [/mm] 0$ (oder [mm] $\le [/mm] 0$) zu loesen, bestimmst du die Nullstellen [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] von [mm] $x^2 [/mm] + a x + b$ (also es ist [mm] $x^2 [/mm] + a x + b = (x - [mm] \alpha) [/mm] (x - [mm] \beta)$). [/mm] Sei etwa [mm] $\alpha \le \beta$.
[/mm]
Dann untersuchst du, wann $(x - [mm] \alpha) [/mm] (x - [mm] \beta) \ge [/mm] 0$ (oder [mm] $\le [/mm] 0$) ist. Wenn $x < [mm] \alpha$ [/mm] ist, dann ist auch $x < [mm] \beta$, [/mm] und somit sind $x - [mm] \alpha$ [/mm] und $x - [mm] \beta$ [/mm] beide negativ. Damit ist $(x - [mm] \alpha) [/mm] (x - [mm] \beta) [/mm] > 0$. Aehnlich untersuchst du nun die beiden anderen Faelle.
> Bei b) habe ich leider überhaupt keine Idee wie man das
> gescheit lösen könnte.
Mit dem Hauptnenner multiplizieren. Und dabei eine Fallunterscheidung machen, wann der positiv bzw. negativ ist. Dann erhaelst du in beiden Faellen eine quadratische Ungleichung, die du wie oben aufloesen kannst...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 17.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Danke für deine Antwort :)
bei der a) habe ich dann folgendes rausbekommen:
Fall 1: [mm] $3(x^2 [/mm] - 2x + 2) [mm] \ge [/mm] 8$
Nullstellen: [mm] $x_{1/2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{\bruch{5}{3}}$
[/mm]
Dann bekomme ich für $(x - [mm] x_1)(x [/mm] - [mm] x_2) \ge [/mm] 0$ die beiden Lösungen
$x [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \wurzel{\bruch{5}{3}}$ [/mm] und $x < 1 - [mm] \wurzel{\bruch{5}{3}}$
[/mm]
Aber beides ist offensichtlich nicht erfüllbar, also existiert keine Lösungsmenge für diesen Fall?
Fall 2: [mm] $3(x^2 [/mm] - 2x + 2) [mm] \le [/mm] -8$
Hier bekomme ich die Nullstellen $1 + [mm] \wurzel{- \bruch{11}{3}}$
[/mm]
Also gibts hier auch wieder keine Lösung?
Aber wie schlussfolgere ich nun das die Lösungsmenge alle x in [mm] \IR [/mm] beinhaltet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo dump!
> Danke für deine Antwort :)
>
> bei der a) habe ich dann folgendes rausbekommen:
>
> Fall 1: [mm]3(x^2 - 2x + 2) \ge 8[/mm]
>
> Nullstellen: [mm]x_{1/2} = 1 \pm \wurzel{\bruch{5}{3}}[/mm]
>
> Dann bekomme ich für [mm](x - x_1)(x - x_2) \ge 0[/mm] die beiden
> Lösungen
> [mm]x \ge 1 + \wurzel{\bruch{5}{3}}[/mm] und [mm]x < 1 - \wurzel{\bruch{5}{3}}[/mm]
Das hintere soll sicher $x [mm] \le [/mm] 1 - ...$ sein, oder?
>
> Aber beides ist offensichtlich nicht erfüllbar, also
> existiert keine Lösungsmenge für diesen Fall?
Wieso? Du hast gezeigt, dass die Gleichung erfuellt ist, wenn $x [mm] \ge [/mm] 1 + ...$ ist oder wenn $x [mm] \le [/mm] 1 - ...$ ist!
> Fall 2: [mm]3(x^2 - 2x + 2) \le -8[/mm]
>
> Hier bekomme ich die Nullstellen [mm]1 + \wurzel{- \bruch{11}{3}}[/mm]
>
> Also gibts hier auch wieder keine Lösung?
Wenn das Minus da richtig ist, dann hat der Term keine Nullstelle. D.h. entweder gilt die Gleichung fuer alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] oder fuer keins. Ueberpruefen kannst du das, indem du ein konkretes $x$ einsetzt.
(Oder du ueberlegst ein wenig: Fuer ein $x$ gilt entweder Fall 1 oder Fall 2, aber nicht beide gleichzeitig. Da es Loesungen fuer Fall 1 gibt, kann somit nicht ganz [mm] $\IR$ [/mm] die Loesungsmenge fuer Fall 2 sein.)
> Aber wie schlussfolgere ich nun das die Lösungsmenge alle x
> in [mm]\IR[/mm] beinhaltet?
Die gesamte Loesungsmenge ist die Vereinigung der Loesungsmengen von Fall 1 und Fall 2.
LG Felix
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