QR-Zerlegung stetig? < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:51 Fr 31.10.2008 | | Autor: | wimue |
Wie Zeige ich denn dass die QR-Zerlegung im Komplexen von einer invertierbaren Matrix stetig ist?
Ich hab leider keinen richtigen Ansatz, außer dem Epsilon-Delta-Kriterium. (f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig wenn zu jedem Epsilon ein Delta existiert so dass für alle x mit | [mm] x-x_0 [/mm] | < Delta gilt [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < Epsilon)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Sa 01.11.2008 | | Autor: | wimue |
Vielleicht ist es ja hilfreich wenn ich die Angaben noch genauer poste, auch wenn in meiner Frage eigentlich schon jede notwendige Information steckt:
Die QR Zerlegung sieht so aus:
[mm] GL_{N}(\IC) \to U_{N}(\IC) \times R_{N}(\IC),
[/mm]
X [mm] \mapsto (X_{Q}, X_{R})
[/mm]
mit
[mm] U_N(\IC) [/mm] := {U [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] | [mm] U^{H}U [/mm] = E},
[mm] R_{N}(\IC) [/mm] := {R [mm] \in \IC^{n \to n} [/mm] | R ist obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen [mm] R_{ii} [/mm] > 0}
und X = [mm] X_{q} X_{R}
[/mm]
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Hallo wimue,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Alternative 1:
Du kannst Dir überlegen aus welchen Funktionen so eine QR-Zerlegung zusammengesetzt ist. Eine Verkettung von stetigen Funktionen ist wieder stetig.
Alternative 2:
Um das Epsilon -Delta Kriterium zu verwenden könnte das ![[]](/images/popup.gif) Störungslemma hilfreich sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 03:27 So 02.11.2008 | | Autor: | wimue |
Da ich vom Störungslemma in der Vorlesung nichts gehört habe, ist wohl die Akternative 1 die geeignete. Ich habe mir mal den Wikipedia-Artikel zur QR-Zerlegung durchgelesen, leider hilft er nicht sehr viel. Die QR-Zerlegung besteht ja schon wie in der Angabe beschrieben aus einer unitären und einer oberen Dreiecksmatrix. Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich dann zeigen dass die beiden Matrizen eine stetige Abbildung beschreiben. Wie kann ich das denn nun machen. Hilft mir da nun das Epsilon-Delta-Kriterium oder gibt es da wieder eine bessere Möglichkeit?
Vielen Dank für die Antwort
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Hallo wimue,
Das Störungslemma erscheint mir zwar praktischer insbesondere um direkt das Epsilon delta Kriterium zu benutzen. Ihr müßt das ja nicht zwingend unter diesem Namen gehabt haben.
Alternative 1 bedeutet eben sich einen einzelnen Rechenschritt bei einer QR Zerlegung anzuschauen. Wenn alle Elemente der Matrix stetig bestimmt wurden, so ist auch die Gesamtmatrix stetig bestimmt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:10 So 02.11.2008 | | Autor: | wimue |
Auch unter anderem Namen habe ich das Störungslemma nirgends in meinen Unterlagen gefunden, also bleibt es wohl dabei.
Zur QR-Zerlegung haben wir das Householderverfahren durchgenommen. Die Rechenschritte sehen dann so aus wie in der Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Householdertransformation):
[mm] S_{v}=I-2vv^{T}
[/mm]
Wahrscheinlich bin ich nur gerade zu müde oder stehe auf dem Schlauch. Deswegen traue ich mich kaum zu fragen warum das stetig ist, gerade wenn man dann diese Spiegelung noch auf alle Spalten nacheinander anwendet....
So einfach kann das eigentlich nicht sein, denn für die Aufgabe gibts doch recht viele Punkte.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 03.11.2008 | | Autor: | wimue |
Also wenn ich die Wikipedia richtig verstehe (das Skript das ich habe ist leider so gut wie unbrauchbar), sieht das dann so aus.
zu zeigen: [mm] X=X_{Q} [/mm] * [mm] X_{R} [/mm] ist stetig.
Also ist zu zeigen die Stetigkeit von:
[mm] X_{Q}= S_{1} S_{2} [/mm] * * * [mm] S_{m-1}
[/mm]
[mm] X_{R}= \vektor{x_{R} \\ 0}
[/mm]
wobei
[mm] S_{1}=I-2e_{1} e_{1}^{T}
[/mm]
[mm] S_{2}=I-2e_{2} e_{2}^{T}
[/mm]
...
[mm] S_{1}=I-2e_{m-1} e_{m-1}^{T}
[/mm]
Das ist wirklich alles worauf ich gekommen bin. Wie komme ich nun zur Lösung? Was muss ich genau tun?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen
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Hallo wimue,
Bei dem was Du aufgeschrieben hast sehe ich nur Multiplikationen und Subtraktionen -> das sieht schon mal recht stetig aus oder nicht? 
Die Frage ist noch wie das im Details vor sich geht.
Zur genaueren Funktionsweise einer QR-Zerlegung mit Householder-Spiegelungen kannst Du Dir ja mal diesen Beitrag durchlesen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:33 Mi 05.11.2008 | | Autor: | wimue |
In der Übung wurde uns gesagt dass man die Aufgabe nicht mit dem Householder-Verfahren lösen kann, sondern mithilfe von Gram-Schmidt! Die Lösung haben wir leider nicht bekommen, daher wäre ich nach wie vor interessiert wenn jemand die genaue Lösung kennt. Terminlich hat es sich aber inzwischen erledigt, also eher eine Frage für interessierte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 07.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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