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Pythagoras anwenden?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:38 Do 17.05.2012
Autor: mili03

Aufgabe
Sei W normierter Vektorraum, U abgeschlossener sowie V eindimensionaler Unterraum von W. Zeige: U+V ist abgeschlossen.

Hallo,

o.E gibt es [mm] v\in [/mm] V mit [mm] v\notin [/mm] U.

[mm] U+V=\{u+tv: u\in U, t\in\IR\}. [/mm]

Sei [mm] u_n+t_nv [/mm] konvergente Folge in U+V. Ich will zeigen, dass der Grenzwert in U+V liegt.

Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden: [mm] \|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\| [/mm] ?

Bin mir da nicht so sicher.

Danke &Gruß,
mili

        
Bezug
Pythagoras anwenden?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Do 17.05.2012
Autor: mili03


> Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden:
> [mm]\|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm] ?

Ich meine

[mm] \|u_n+t_nv\|^2=\|u_n\|^2+|t_n|^2\|v\|^2. [/mm]

Sorry.

Bezug
        
Bezug
Pythagoras anwenden?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Do 17.05.2012
Autor: fred97


> Sei W normierter Vektorraum, U abgeschlossener sowie V
> eindimensionaler Unterraum von W. Zeige: U+V ist
> abgeschlossen.
>  Hallo,
>  
> o.E gibt es [mm]v\in[/mm] V mit [mm]v\notin[/mm] U.
>  
> [mm]U+V=\{u+tv: u\in U, t\in\IR\}.[/mm]
>  
> Sei [mm]u_n+t_nv[/mm] konvergente Folge in U+V. Ich will zeigen,
> dass der Grenzwert in U+V liegt.
>  
> Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden:
> [mm]\|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm] ?

Das ist Unsinn !  Es gilt:

[mm]\|u_n+t_nv\| \le \|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm]

Der Satz von Pythagoras ist nur richtig in Vektorräumen mit Skalarprodukt <*,*> und der Norm ||x||= [mm] \wurzel{}. [/mm] Er lautet:


[mm] ||u+v||^2=||u||^2+||v||^2, [/mm] falls <u,v>=0

FRED

>  
> Bin mir da nicht so sicher.
>  
> Danke &Gruß,
>  mili


Bezug
                
Bezug
Pythagoras anwenden?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:07 Do 17.05.2012
Autor: mili03

Hallo,

danke.

> [mm]\|u_n+t_nv\| \le \|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm]

Schade, dann komme ich so nicht zu meinem Ziel.
Ich wollte zeigen, dass [mm] t_n [/mm] ebenfalls konvergiert gegen ein t. Dann würde aus der Abgeschlossenheit von U folgen und weil [mm] u_n [/mm] dann ebenfalls konvergiert, dass [mm] u_n+t_n\to [/mm] u+tv für ein [mm] u\in [/mm] U und [mm] t\in\IR. [/mm]

Wie wäre es, wenn ich die lineare Abbildung [mm] \varphi\equiv0 [/mm] auf U fortgesetzt auf U+V mit [mm] \varphi(v)=1 [/mm] betrachte (sie ex. wegen Hahn-Banach)?
Diese Abbildung ist dann stetig (weil Ker [mm] \varphi [/mm] = U abgeschlossen), und es gilt [mm] $t_n=\varphi(u_n+ [/mm] t_nv)$. Kann ich dann sagen, dass aufgrund der Stetigkeit von [mm] \varphi [/mm] der Grenzwert [mm] t:=\lim_{n\to\infty}\varphi(u_n+t_nv) [/mm] existiert?

Dank nochmal

Bezug
                        
Bezug
Pythagoras anwenden?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Sa 19.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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