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| Aufgabe | Eine Ebene ist durch die Punkte A(1;3;-4), B(2;3;1) und C(8;4;2) gegeben.
a) Stellen Sie die Ebenengleichung in vektorieller und parameterfreier Form auf.
b) Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht zu dieser Ebene steht.
c) Die Punkte A, B, C und D(2;-2;-2) bilden eine Pyramide. Berechnen Sie den Flächeninhalt der vier Seitenflächen und das Volumen der Pyramide. |
Hallo,
ich habe mich mal an dieser Aufgabe versucht und hoffe meine Ergebnisse sind richtig:
a) (habe ich bereits verglichen, ist richtig)
vektorielle Form: E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 3 \\ -4}+r* \vektor{1 \\ 0 \\ 5}+s* \vektor{7 \\ 1 \\ 6}
[/mm]
parameterfreie Form: E: -5x+29y+z=78
b)
Der Normalenvektor [mm] \overrightarrow{NV} [/mm] einer Ebene die durch zwei Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{RV_{1}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{RV_{2}} [/mm] aufgespannt ist, steht senkrecht zu dieser Ebene. Es gilt:
[mm]\overrightarrow{NV}= \overrightarrow{RV_{1}} x \overrightarrow{RV_{2}}= \vektor{-5 \\ 29 \\ 1}[/mm]
c)
Es sind:
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{1 \\ 0 \\ 5}; \overrightarrow{BC}= \vektor{6 \\ 1 \\ 1}; \overrightarrow{CA}= \vektor{-7 \\ -1 \\ -6}; \overrightarrow{AD}= \vektor{1 \\ -5 \\ 2}; \overrightarrow{BD}= \vektor{0 \\ -5 \\ -3}; \overrightarrow{CD}= \vektor{-6 \\ -6 \\ -4}
[/mm]
Die Flächeninhalte der Seitenflächen (3 Seiten und 1 Grundfläche) habe ich so berechnet:
[mm] A_{1}= \bruch{|\overrightarrow{AD} x \overrightarrow{CA}|}{2} \approx [/mm] 24,413
[mm] A_{2}= \bruch{|\overrightarrow{CD} x \overrightarrow{BC}|}{2} \approx [/mm] 17,521
[mm] A_{3}= \bruch{|\overrightarrow{BD} x \overrightarrow{AB}|}{2} \approx [/mm] 12,835
Grundfläche:
cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{ \overrightarrow{AB}* \overrightarrow{BC}}{| \overrightarrow{AB}| * | \overrightarrow{BC}|} [/mm]
[mm] \gamma \approx [/mm] 69,515°
[mm] A_{G}= \bruch{1}{2} [/mm] * | [mm] \overrightarrow{AB}| [/mm] * | [mm] \overrightarrow{BC}|*sin \gamma
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{26}* \wurzel{38} [/mm] * sin 69,515° [mm] \approx [/mm] 14,72
A{ges}= [mm] A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{G} \approx [/mm] 69,5
Volumen:
V= [mm] \bruch{1}{3}*A_{G}*h
[/mm]
h ist der Abstand des Punktes D(2;-2;-2) von der Ebene E: -5x+29y+z=78.
|d|= [mm] \bruch{-5*(2)+29*(-2)-2-78}{\wurzel{867}} \approx [/mm] 5,0
V= [mm] \bruch{1}{3}*14,72*5,0 \approx [/mm] 24,5
Vielen Dank für Eure Mühe!
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Hallo,
es ist eigentlich alles richtig. Vermutlich auf Grund von ungenauer Rundung deinerseits erhalte ich zwei leicht abweichende Werte:
[mm] A_2\approx{17.94} [/mm] FE
[mm] V\approx{24.66} [/mm] VE
Schreibe auch unbedingt immer die Einheiten hinter die Ergebnisse, damit klar ist, um welche Art von Größe es sich handelt.
Gruß, Diophant
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Hallo Mathe-Andi,
das Volumen dieser Pyramide kann man auch bequem mittels dem Spatprodukt berechnen:
[mm] V_{Pyramide}=\frac{1}{6}V_{Spat}=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}|
[/mm]
EDIT: Betragsklammern gesetzt - Unachtsamkeit meinerseits. Danke an Diophant.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:51 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie,
bei den Tipps zur Inhaltsberechnung per Kreuz-/Spatprodukt muss man unbedingt darauf achten, Betragsklammern zu setzen:
[mm] V_{Tetraeder}=\bruch{1}{6}*|\vec{a}\times\vec{b}*\vec{c}|
[/mm]
Sonst kann im Falle des Spatproduktes etwas negatives herauskommen, was bei einem Volumen aber nicht sein darf. Beim Kreuzprodukt ist es natürlich eh klar, da geht es um den Betrag eines Vektors.
Gruß, Diophant
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