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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 09.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Die Punkte A(-2/1/8) B(3/0/2) C(7/-1/2) sind die Basispunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze D(1/4/9)
a) Geben Sie die allgemeine Ebenengleichung der Trägerebene [mm] \varepsilon_ABC [/mm] an.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
c) Bestimmen Sie die Höhe h der Pyramide als Normalabstand des Punktes D von der Ebene [mm] \varepsilon_ABC [/mm] .
d) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Seitenkante AD zur [mm] \varepsilon_ABC [/mm] . |
Hallo,
da mir leider die entsprechende Lösung zur Aufgabe fehlt, wärs prima, wenn jemand kurz kontrollieren könnte, ob der Rechenweg stimmt :) ...
a)
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{5 \\ -1\\ -6} \overrightarrow{BC}=\vektor{4 \\ -1\\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC} =\vektor{-6 \\ -24\\ -1} \Rightarrow \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -24\\ -1}
[/mm]
Normalvektorform: [mm] \vec{n}*\vec{x}=\vec{n}*\overrightarrow{P}
[/mm]
[mm] \vektor{-6 \\ -24\\ -1} *\vec{x}=\vektor{-6 \\ -24\\ -1}*\vektor{-2 \\ 1\\ 8} [/mm] (Punkt A) [mm] \Rightarrow \vektor{-6 \\ -24\\ -1} *\vec{x}=-20 \Rightarrow [/mm] allg. Ebenengleichung: -6x-24y-1z=-20
b)
[mm] cos\alpha=\bruch{\vektor{5 \\ -1\\ -6}*\vektor{4 \\ -1\\ 0}}{\wurzel{(5+1+6)^2}*\wurzel{(4+1+0)^2}}=\bruch{21}{60}=0,35\Rightarrow \alpha [/mm] 69,5126°
[mm] A=\bruch{\wurzel{(5+1+6)^2}*\wurzel{(4+1+0)^2}*cos\alpha}{2}=28,103 [/mm] FE
c)
[mm] h=\bruch{\vektor{-6 \\ -24\\ -1}*(\vektor{1 \\ 4\\ 9}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8})}{\wurzel{(6+24+1)^2}}=2,935
[/mm]
d)
[mm] V=\bruch{G*h}{3}=\bruch{28,103*2,935}{3}=27,49 [/mm] VE
e)
[mm] \overrightarrow{M_B_C}=\overrightarrow{0B}*0,5*\overrightarrow{BC}=\vektor{5 \\ -0,5\\ 2} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AM_B_C}=\vektor{5 \\ -0,5\\ 2}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8}=\vektor{7 \\ -1,5\\ -6}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{1 \\ 4\\ 9}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8}=\vektor{3 \\ 3\\ 1} [/mm]
[mm] cos\alpha=\bruch{\vektor{5 \\ 0,5\\ 2}*\vektor{3 \\ 3\\ 1}}{\wurzel{(5+0,5+2)^2}*\wurzel{(3+3+1)^2}}=\bruch{15,5}{52,5}=0,295238\Rightarrow \alpha [/mm] 72,828°
Danke und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Die Punkte A(-2/1/8) B(3/0/2) C(7/-1/2) sind die
> Basispunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze
> D(1/4/9)
>
> a) Geben Sie die allgemeine Ebenengleichung der
> Trägerebene [mm]\varepsilon_ABC[/mm] an.
>
> b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
>
> c) Bestimmen Sie die Höhe h der Pyramide als Normalabstand
> des Punktes D von der Ebene [mm]\varepsilon_ABC[/mm] .
>
> d) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
>
> e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Seitenkante AD zur
> [mm]\varepsilon_ABC[/mm] .
> Hallo,
>
> da mir leider die entsprechende Lösung zur Aufgabe fehlt,
> wärs prima, wenn jemand kurz kontrollieren könnte, ob der
> Rechenweg stimmt :) ...
>
> a)
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{5 \\ -1\\ -6} \overrightarrow{BC}=\vektor{4 \\ -1\\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC} =\vektor{-6 \\ -24\\ -1} \Rightarrow \vec{n}[/mm]
> = [mm]\vektor{-6 \\ -24\\ -1}[/mm]
>
> Normalvektorform:
> [mm]\vec{n}*\vec{x}=\vec{n}*\overrightarrow{P}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-6 \\ -24\\ -1} *\vec{x}=\vektor{-6 \\ -24\\ -1}*\vektor{-2 \\ 1\\ 8}[/mm]
> (Punkt A) [mm]\Rightarrow \vektor{-6 \\ -24\\ -1} *\vec{x}=-20 \Rightarrow[/mm]
> allg. Ebenengleichung: -6x-24y-1z=-20
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{\vektor{5 \\ -1\\ -6}*\vektor{4 \\ -1\\ 0}}{\wurzel{(5+1+6)^2}*\wurzel{(4+1+0)^2}}=\bruch{21}{60}=0,35\Rightarrow \alpha[/mm]
> 69,5126°
Der Betrag des Vektors [mm]\vektor{5 \\ -1\\ -6}[/mm] ergibt sich doch zu:
[mm]\vmat{\vektor{5 \\ -1\\ -6}}=\wurzel{5^{2}+\left(-1\right)^{2}+\left(-6\right)^{2}}[/mm]
Für den Vektor [mm]\vektor{4 \\ -1\\ 0}[/mm] analog:
[mm]\vmat{\vektor{4 \\ -1\\ 0}}=\wurzel{4^{2}+\left(-1\right)^{2}+0^{2}}[/mm]
Allgemein hast Du die Beträge der Vektoren falsch errechnet.
>
> [mm]A=\bruch{\wurzel{(5+1+6)^2}*\wurzel{(4+1+0)^2}*cos\alpha}{2}=28,103[/mm]
> FE
>
>
> c)
>
> [mm]h=\bruch{\vektor{-6 \\ -24\\ -1}*(\vektor{1 \\ 4\\ 9}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8})}{\wurzel{(6+24+1)^2}}=2,935[/mm]
>
> d)
>
> [mm]V=\bruch{G*h}{3}=\bruch{28,103*2,935}{3}=27,49[/mm] VE
>
> e)
>
> [mm]\overrightarrow{M_B_C}=\overrightarrow{0B}*0,5*\overrightarrow{BC}=\vektor{5 \\ -0,5\\ 2}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AM_B_C}=\vektor{5 \\ -0,5\\ 2}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8}=\vektor{7 \\ -1,5\\ -6}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}=\vektor{1 \\ 4\\ 9}-\vektor{-2 \\ 1\\ 8}=\vektor{3 \\ 3\\ 1}[/mm]
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{\vektor{5 \\ 0,5\\ 2}*\vektor{3 \\ 3\\ 1}}{\wurzel{(5+0,5+2)^2}*\wurzel{(3+3+1)^2}}=\bruch{15,5}{52,5}=0,295238\Rightarrow \alpha[/mm]
> 72,828°
>
> Danke und beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 09.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke. Dachte, ich kann das auch so rechnen...
Beste Grüße
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