Punktepaar mit Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Whizzle |
Hallo!
Ich habe wirklich keinen Plan wie man dieses Punktepaar zeigen soll. Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte:
Es sei f : [mm] S^{1} [/mm] := { [mm] e^{ix} [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2\pi [/mm] } [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Man zeige, dass es ein Punktepaar (z,-z), z [mm] \in S^{1}, [/mm] mit f(x) = f(-z)gibt.
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Hallo whizzle,
das ist eine schöne aufgabe! Vielleicht mal als tip, damit du selbst noch etwas an der aufgabe zu knobeln hast: versuch doch mal, geeignet eine funktion so zu definieren, dass du auf ein nullstellenproblem kommst. wenn du das hast, kannst du mittels eines satzes über stetige funktionen die existenz eines punktepaares beweisen, das su suchst.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Whizzle |
Was meinst du denn mit Nullstellenproblem durch aufstellen einer Funktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 25.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Was meinst du denn mit Nullstellenproblem durch aufstellen
> einer Funktion?
Da amch ich mal ein Beispiel: Zeige, dass eine stetige Funkltion [m]g:[0,1]\to [0,1][/m] einen Fixpunkt hat. Dazu definiere [m]h:[0,1]\to [0,1], x\mapsto g(x)-x[/m]. Welches Vorzeichen hat man in 0? Welches in 1? Was folgt aus dem Zwischenwertsatz? Und ein ähnliches Vorgehen sei hier angeraten.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Whizzle |
Also ich konnte die Aufgabe alleine nicht lösen, würde aber im Nachhinein doch gerne mal wissen, wie das nun funktioniert hätte? Also wenn jemand die Lösung weiß....
Danke
Whizzle
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Hallo whizzle,
also sei $f$ eine stetige funktion auf der [mm] $S^1$. [/mm] Wir suchen einen Punkt [mm] $z\in S^1$ [/mm] mit $f(z)=f(-z)$.
Mein tip zielte nun dahin, ein nullstellenproblem aus dieser aufgabe zu machen. definiere also $g(z)=f(z)-f(-z)$. wir suchen eine nullstelle von $g$. es gilt offenbar $g(z)=-g(-z)$. das heißt aber, wenn es eine stelle $z$ gibt, an der $g$ positiv (negativ) ist, dann ist $g$ an $-z$ negativ (positiv). da $g$ stetig ist, muss es also eine nullstelle geben (zwischenwertsatz).
gibt es solche stellen nicht, dann ist $g$ konstant null, dh. $f$ ist konstant und $f(z)=f(-z)$ für alle [mm] $z\in S^1$.
[/mm]
Alles klar? 
VG
Matthias
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