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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 18.02.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Es sei gegeben G die Gerade im [mm] R^3
[/mm]
G: x= [mm] (1,2,3)^T +t(1,0,-1)^T [/mm] und $B = (4,2,4)$
Bestimmen Sie Punkte P und Q auf G so , dass das Dreieck mit den Ecken B,P,Q rechtwinklig und gleichschenklig ist, wobei der rechte Winkel am Punkt P sein soll.
Sind P und Q eindeutig bestimmt? |
Hallo,
ich komme nicht weiter bei dieser Aufgabe.
Ich habe keine richtige Lösungsidee nur ein Paar Einsetze welche vielleicht hilfreich seien konnten.
Ich habe zuerst gezeigt das B nicht auf der Geraden liegt.
Dann habe ich G:x=P gesetz und Punkt P in Abchängigkeit von t bestimmt.
--> $P=(t+1, 2 , 3 - t)$
Dann wollte ich noch die Länge von PB bestimmen in dem ich den Betrag der Differenz zwischen diesen beiden Punkten berechnet habe.
Es kamm so etwas raus: [mm] \wurzel{t^2-2t+5}
[/mm]
Und diese Gleichung im reelen nicht lösbar.
Weißt jemand wie ich weiter komme?
MfG Splin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 18.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Es sei gegeben G die Gerade im [mm]R^3[/mm]
> G: x= [mm](1,2,3)^T +t(1,0,-1)^T[/mm] und [mm]B = (4,2,4)[/mm]
>
> Bestimmen Sie Punkte P und Q auf G so , dass das Dreieck
> mit den Ecken B,P,Q rechtwinklig und gleichschenklig ist,
> wobei der rechte Winkel am Punkt P sein soll.
> Sind P und Q eindeutig bestimmt?
> Hallo,
> ich komme nicht weiter bei dieser Aufgabe.
>
> Ich habe keine richtige Lösungsidee nur ein Paar Einsetze
> welche vielleicht hilfreich seien konnten.
>
> Ich habe zuerst gezeigt das B nicht auf der Geraden liegt.
>
> Dann habe ich G:x=P gesetz und Punkt P in Abchängigkeit von
> t bestimmt.
Hallo,
hast du eine Skizze gemacht? Ich vermute, nicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
P muss doch ein ganz konkreter Punkt auf g sein - nämlich der Punkt, für den PB senkrecht auf g (und damit senkrecht auf dem Richtungsvektor von g) steht. In den Koordinaten von P darf also am Ende kein allgemeines t mehr auftreten.
Stelle also den Vektor PB (zunächst allgemein unter Verwendung von mm]P=(t+1, 2 , 3 - t)[/mm]) auf und bilde das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g. Wegen der Rechtwinkligkeit ist dieses Skalarprodukt Null, daraus erhältst du den konkreten Wert t für die Koordinaten des Punktes P.
Gruß Abakus
>
> --> [mm]P=(t+1, 2 , 3 - t)[/mm]
>
> Dann wollte ich noch die Länge von PB bestimmen in dem ich
> den Betrag der Differenz zwischen diesen beiden Punkten
> berechnet habe.
> Es kamm so etwas raus: [mm]\wurzel{t^2-2t+5}[/mm]
> Und diese Gleichung im reelen nicht lösbar.
>
> Weißt jemand wie ich weiter komme?
>
> MfG Splin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 18.02.2009 | | Autor: | splin |
Ich habe PB bestimmt PB=(3-t , 0 , 1+t ) und skalarmultipliziert mit dem Richtungsvektor der G. So habe ich t=1 bestimmt.
t=1 in die G eingesetz und P=(2, 2, 2) bestimmt
Dem nach PB= (2, 0, 2).
Wie bestimme ich Q?
Q=P-PB in die Richtung von G.
--> (2, 2, 2)- (2, 0, 2) + t(1, 0, -1) t muss auch hier =1 sein oder ?
--> Q=(1, 2, -1)
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 18.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe PB bestimmt PB=(3-t , 0 , 1+t ) und
> skalarmultipliziert mit dem Richtungsvektor der G. So habe
> ich t=1 bestimmt.
>
> t=1 in die G eingesetz und P=(2, 2, 2) bestimmt
>
> Dem nach PB= (2, 0, 2).
Wenn das stimmt (habe nicht nachgerechnet) hat PB den Betrag [mm] \wurzel{2^2+0^2+2^2}=\wurzel{8}.
[/mm]
PQ muss genauso lang sein. Berechne einfach, wie lang der Richtungsvektor von g ist. Dieser muss durch Multiplikation mit einer geeigneten reellen Zahl genauso lang gemacht werden wie PB.
Diesen auf richtige Länge gebrachten Richtungsvektor kannst du dann von P aus in beide Richtungen antragen (es gibt 2 Lösungen für Q, siehe Skizze vom letzten Post).
Gruß Abakus
>
> Wie bestimme ich Q?
>
> Q=P-PB in die Richtung von G.
>
> --> (2, 2, 2)- (2, 0, 2) + t(1, 0, -1) t muss auch hier =1
> sein oder ?
>
> --> Q=(1, 2, -1)
>
> Ist das richtig so?
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