Punkte auf der Zahlenkugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich schreibe eine Facharbeit über Projektion von Punkten der Gausschen Zahlenebene auf die Zahlenkugel. Ich habe bereits herausgefunden, dass ich einen beliebigen Punkt der Zahlenebene mit dem Nordpol verbinden muss und der Schnittpunkt dieser Gerade mit der Kugeloberfläche den neuen Punkt darstellt. Jetzt weiß ich nicht wie ich diesen Punkt definieren kann und wie man seine Koordinaten errechnet. Gibt es eine einfache Möglichkeit wo ich mich nicht in die Komplexität der Polarkoordinaten stürzen muss und wenn doch, wo fang ich da am besten an?
Danke
the9ismine_
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo the9ismine_,
wenn der Kugelmittelpunkt der Ursprung sein soll und die Kugel den Radius 1 haben soll, dann würde ich vorschlagen, du gehst in die Vektorrechnung:
Dot kannst du die Kugel entsprechend über die Koordinaten darstellen. Dann betrachtest du den Nordpol (welche Koordinaten hat der dann?) und den Punkt auf der Ebene, deren Zahl du auf die Kugel projizieren möchtest. Du kannst mit diesen zwei Punkten dann eine Geradengleichung aufstellen (wieder mit Stützvektor (welchen am besten?) und einem Richtungsvektor (wie kommt man am einfachsten an den?). Und dann bereechnest du den SChnittpunkt von dieser Geraden mit der Kugel mit einem der Verdahren, die sich da anbieten: Einsetzen, gleichsetzen, addieren, subtrahieren, ... (welches ist am geeignetsten?)
Der Schnittpunkt ist dann, wie du schon selbst beschrieben hast, der gesuchte Punkt.
Noch ein Hinweis, ich denke, das ist auch bei Facharbeiten legitim: Was du da machst, also eine Ebene auf die Kugel zu projizieren, wie du das beschrieben hast, wird meist verwendet nicht bei Zahlenkugeln, sondern genau andersherum bei Karten: Da wird die Erdkugel auf eine Ebene (die Karte) projiziert. Das Ganze läuft unter dem Namen der "Stereographischen Projektion". Unter dem Namen kannst du selbst weiter nach Material suchen (welches du, wenn du es verwendest, natürlich bei den Quellen angeben musst!).
Viel Erfolg und lieben Gruß,
Manatu
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Erstmal Danke für die Hilfen und Tipps.
1.Meinst du, ich kann in meiner facharbeit nur kurz den Begriff des Vektors anreißen und gleichungen für geraden und kugeln einfach vorraussetzen ohne diese zu erläutern? sonst wird der platz recht knapp.
2.wenn ich die koordinaten im [mm] r^3 [/mm] errechnet habe. wie komm ich dann zu der in der geographie üblichen darstellung in längen und breitengrade? oder ist es besser wenn ich koordinaten von der kugel zurück auf die ebene bringe, indem ich mir punkte der kugel ausdenke und prüfe ob sie die kugelgleichung erfüllen, anstatt echte zu nehmen?
gruß
the9ismine_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo the9ismine_,
> 1.Meinst du, ich kann in meiner facharbeit nur kurz den
> Begriff des Vektors anreißen und gleichungen für geraden
> und kugeln einfach vorraussetzen ohne diese zu erläutern?
> sonst wird der platz recht knapp.
Äh, ich war davon ausgegangen, dass ihr das im Unterricht schon behandelt habt. Wenn nicht, solltest du anders vorgehen. Wenn allerdings ja, dann kannst du das voraussetzen und brauchst gar ncihts dazu zu sagen, was ein Vektor oder ähnliches sein soll.
Das denke ich. Aber für solche Fragen musst du bitte unbedingt Rücksprache mit deinem Lehrer/deiner Lehrerin halten! Frag ihn/sie, wie er/sie es gern hätte.
> 2.wenn ich die koordinaten im [mm]r^3[/mm] errechnet habe. wie komm
> ich dann zu der in der geographie üblichen darstellung in
> längen und breitengrade?
Ah, jetzt verstehe ich, wieso du von Polarkoordinaten sprachst: Die Angabe durch Längen- und Breitengrad hat ganz viel mit Polarkoordinaten zu tun: Es ist der Winkel, unter dem man den Punkt auf der Kugel sieht, wenn man vom Kugelmittelpunkt guckt. Das heißt, du musst die Winkel bestimmen. Einmal den Winkel zum Äquator (also der [mm] $x_1-x_2$-Ebene) [/mm] (cih hoffe, bei den BReitengraden vertue ich mich da nicht, da funktioniert das ja etwas anders. Müsste aber auch so gehen) und einmal den Winkel zu der Ebene, die durch den Ursprung, den Nordpol und Greenwich verläuft (das ist der Null-Grad-Längengrad). Wenn du mit Vektoren arbeitest, kannst du den Winkel über den Cosinus und die entsprechenden Vektoren bestimmen. Ansonsten musst du dir wohl eine gute Skizze machen und dann mit der Trigonometrie (rechtwinkligen Dreiecken und Sinus, Cosinus oder was gerade passt) arbeiten.
> oder ist es besser wenn ich
> koordinaten von der kugel zurück auf die ebene bringe,
> indem ich mir punkte der kugel ausdenke und prüfe ob sie
> die kugelgleichung erfüllen, anstatt echte zu nehmen?
Verstehe ich nicht, was du dir dabei denkst: Du kommst doch von der Ebene. Du willst doch einen Punkt von der Ebene auf die Kugel kriegen. Wieso willst du dann jetzt auf einmal wieder den Punkt zurück auf die Ebene bringen? Es wird der gleiche sein, wie der, von dem du losgezogen bist. Was verstehe ich hier an deinem Vorhaben nicht?
Mathematische Grüße,
Manatu
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> Äh, ich war davon ausgegangen, dass ihr das im Unterricht
> schon behandelt habt. Wenn nicht, solltest du anders
> vorgehen.
hatte ich leider nicht im unterricht, weil wir stochastik anstatt linearer algebra machen. wie geh ich dann vor? ich hab dazu nur material, das sich irgendwie mit komplexen zahlen beschäftigt und ich seh den zusammenhang mit meinem problem nicht ganz. wo finde ich da verständliche sachen, bzw. unter welchen suchbegriffen such ich da am besten?
deine defnition von längen/breitengrade verstehe ich, ich weiß nur nicht wie ich da hin komme. und was ich dann da im endeffekt rechnen soll.
> Verstehe ich nicht, was du dir dabei denkst: Du kommst doch
> von der Ebene. Du willst doch einen Punkt von der Ebene auf
> die Kugel kriegen. Wieso willst du dann jetzt auf einmal
> wieder den Punkt zurück auf die Ebene bringen? Es wird der
> gleiche sein, wie der, von dem du losgezogen bist. Was
> verstehe ich hier an deinem Vorhaben nicht?
ich hab vergessen zu sagen, dass ich vor habe das ganze in einem anwendungsbezogenem rechenbeispiel wieder rückgängig zu machen, weil man bei der kartenerstellung ja eigendlich den weg anders herum einschlägt. aber im prinzip habe ich mich noch nicht festgelegt. eventuell könne ich es auch umgekehrt machen, dass ich zum besipiel mit hilfe einer weltkarte einen globus baue. dann habe ich die geliche richtung, wie in der herleitung.
im fordergrund steht für mich jedoch erstmal wie ich die herleitung so hinbekomme.
vielen dank für deine zeit
the9ismine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > Äh, ich war davon ausgegangen, dass ihr das im Unterricht
> > schon behandelt habt. Wenn nicht, solltest du anders
> > vorgehen.
> hatte ich leider nicht im unterricht, weil wir stochastik
> anstatt linearer algebra machen. wie geh ich dann vor? ich
> hab dazu nur material, das sich irgendwie mit komplexen
> zahlen beschäftigt und ich seh den zusammenhang mit meinem
> problem nicht ganz. wo finde ich da verständliche sachen,
> bzw. unter welchen suchbegriffen such ich da am besten?
Am besten, du fängst mit dem Begriff ![[]](/images/popup.gif) Stereografische Projektion (oder hier) an.
> deine defnition von längen/breitengrade verstehe ich, ich
> weiß nur nicht wie ich da hin komme. und was ich dann da im
> endeffekt rechnen soll.
Die Längengrade sind einfach, weil die Punkte auf einem Längengrad auf eine Gerade in der Ebene projiziert werden, die durch den Nullpunkt geht: es sind gerade die Strahlen durch den Nullpunkt. Anschaulich bedeutet das, dass du dich auf der Kugel und in der Ebene einfach nur drehen musst.
Die Breitengrade sind ein bischen komplizierter: Dieses Bild zeigt dir, wie du die Koordinaten umrechnen musst. [mm] $90^\circ-\delta$ [/mm] ist deine geografische Breite und $A'$ ist dein zugehöriger Punkt in der Ebene.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Danke Rainer und hallo the9ismine_,
die Links würd ich unterstreichen und wie schon gesagt solltest du zunächst mal unter dem Begriff Stereographische Projektion suchen. Dazu müsste es im Internet recht viel geben.
Wenn du die Vektoren noch nicht hattest, wirst du dich insgesamt wohl irgendwie mit der Trigonometrie rumschlagen müssen. Ich meine, damit müsste es auch gehen, wenn du alle Informationen verwendest, die du gegeben hast:
1.) die Koordinaten von einem Punkt auf der Ebene, den du eben projizieren möchtest
2.) Der Radius der Kugel ist 1 Längenheit
3.) Der Mittelpunkt der Kugel ist der Koordinatenursprung
4.) Die Koordinaten des Nordpols sind (0,0,1) (je nach Benennung der Achsen).
Ich hab's gerade ausprobiert, geht etwas durcheinander, man muss zwei/drei Hilfsdreiecke berechnen, aber es geht mit Sinussatz und der rechtwinkligen Trigonometrie.
Was das von Rainer angegebene Bild zu den Breitengraden sagt ist aber genau, was ich dir zuvor auch schon gesagt hatte. Meine Vermutung hat Rainer damit also bestätigt (vielen Dank dafür).
Die Idee, nach einer Erklärung eine Anwendung zu bringen, find ich nicht schlecht. Aber du solltest dir überlegen, ob du dann auf einmal die umgekehrte Richtung nimmst (welche ja die ist, die in der Praxis wohl die gebräuchlichere ist) oder ob du dann die gleiche Richtung wählst. Die Umkehrung wäre schön, aber dann wäre es sicherlich auch gut, du würdest auf den umgekehrten Prozess zur Koordinatengewinnung hinweisen (das macht die Umkehrfunktion, wenn du die Koordinaten auf der Kugel als Funktion der Koordinaten auf der Ebene betrachtest). Aber das ist nicht so ohne. Da müsstest du dich mal mit beschäftigen und das am besten mal mit deinem Lehrer/deiner Lehrerin besprechen.
Mit mathematischen Grüßen,
Manatu
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Ich danke euch beiden für diese super Hilfe. Ich habe jetzt eine viel bessere Vorstellung, um was es überhaupt geht.
Nur leider habe ich Zweifel, ob ich den Ansatz zur trigonometrischen Lösung finde(bin nur ein kleiner Grundkurs-Schüler). Ich zerbrech mir schon länger den Kopf wie ich da drauf komme. Kannst du vielleicht die Grundvorgehensweise schildern, oder vielleicht deine Skizze einscannen?
Das würd mir echt voll weiterhelfen.
Gruß the9ismine_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 24.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub, du sollst dir das erstmal richtig vorstellen.
Erstmal nur ne Kugel mit Radius 1. (vergrößern ist später leicht.
Dann schneid in Gedanken nen Ball durch, leg deine Ebene in die Mitte (Äquator) und "projizier vom Südpol aus.
Jetzt wird schon mal der Einheitskreis deiner Ebene zum Äquator der Kugel, der Mittelpunkt zum Nordpol unendlich zum Südpol.
alle Kreise um den Nordpol (die Breitenkreise) werden zu kreisen mit Radius kleiner 1, alle Kreise um den Südpol zu Kreisen mit Radius größer 1.
Die Längenkreise, die von Nordpol zu Südpol gehen, werden Geraden durch den Nullpunkt.
jetzt musst du noch Zahlen dran schreiben.
irgendwo, bei der x- Achs deiner Ebene ist der Winkel 0, zeichne ihn auf dem Äquator, bzw x- Achse ein. dann den Aquator alle 10° etwa einzeichnen, die 0Pkt geraden dazu sind die längenkreise mit dem entsprechenden Winkel.
jetzt muss du den zweiten Winkel an die Kreise malen. da fängst du mit Nordpol 0° an. die Winkel auf der Erde, bzw. Kugel werden vom Mittelpunkt her gerechnet, mal die nen Querschnitt senkrecht zum Äquator, der Kreis, den man unter dem Winkel [mm] \alpa [/mm] von der Mitte aus sieht, hat auf der Kugel den Radius [mm] cos\alpha, [/mm] aus dem Strahlensatz siehst du, dass er auf deiner Karte halb so gross ist.
Damit kommst du schon mal sehr weit, punkte in der Ebene auf die Kugel zu projizieren.
Allerdings ist es dann wirklich besser die Punkte in der Ebene auch in "Polarkoordinaten anzugeben. aber das ist wirklich einfach: du gibst nicht die x- und y Koordinate an, sondern den Abstand vom Nullpunkt, den nennst du r, und unter welchem Winkel zur x- Achse du den Punkt auf ner Geraden erreichst, den nennst du [mm] \phi.
[/mm]
das sind schon Polarkoordinaten.
Wenn du aus der x,y Darstellung umrechnen willst ist das einfach [mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] nach Pythagoras und [mm] tan\phi=y/x [/mm] entsprechend imt imaginär- und Realteil von kompl. Zahlen.
Zum Sinn der Gausschen zahlenkugel für die komplexen Zahlen: man kann Funktionen oft besser darauf darstellen, weil man auf der Kugel die unendlichen Punkte "sehen" kann.
Wissen sollte man, dass Winkel bei dieser Abbildung gleich bleiben, dagegen Flächen und Längen an verschiedenen Stellen der Karte verschieden stark verzerrt werden
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo the9ismine_,
ich kann dir ja schlecht alles vor machen, wenn es DEINE Facharbeit werden soll. Aber man möge mir verzeihen, wenn ich dir die Skizze, die dir helfen kann, hier einmal poste. Dazu nur einige kleine Hinweise, damit du weißt, was zu sehen ist:
1.) Wir betrachten nur einen Querschnitt durch die Situation, und zwar am sinnvollsten entlang des 0°-Längengrads. Der Kreis, den ich zeichne, ist also der Längengrad bei 0°.
2.) Die x-Achse ist dann entsprechend die Ebene mit den Zahlen oder Kartenpunkten, die du auf die Kugel projizieren möchtest.
3.) Erinnere dich an die Kongruenzsätze: Es reichen von einem Dreieck in der Regel drei Informationen, damit das Dreieck eindeutig (manchmal zweideutig) definiert ist. Die Trigonometrie hilft dir, die fehlenden Informationen zu berechnen. Das ist deine Aufgabe, herauszufinden, welche Informationen du haben willst und wie genau du nun gerade diese Information ausrechnen kannst. Zur Verfügung stehen dir:
-> Sinus = Gegenkathete/Hypothenuse in rechtwinkligen Dreiecken
-> Cosinus = Ankathete/Hypothenuse in rechtwinkligen Dreiecken
-> Tangens = Sinus/Cosinus = Gegenkathete/Ankathete in rechtwinkligen Dreiecken
-> Sinussatz: [mm] $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{a}{b}$ [/mm] in allen Dreiecken
-> Cosinussatz: [mm] $c^2=a^2+b^2-ab\cos\gamma$ [/mm] in allen Dreiecken.
4.) Mit dem einfachsten Dreieck anfangen: NMP. Hier so Größen (Winkel (!) und Strecken) so berechnen, dass es bei den anderen Dreiecken hilft, die du brauchst. Und das möglichst allgemein mit Koordinaten (x|0) für P.
5.) Dann schaust du dir erst den Querschnitt entlang der Ebene an, guckst also quasi von oben auf die Kugel, und versuchst dann die zweite Koordinate (y, wieder durch Berechnung von geeigneten Dreiecken) in deine Formel mit einzubauen.
6.) Dein Punkt P hat dann möglicher Weise Koordinaten, in denen der Sinus und der Kosinus vorkommen. Das kannst du durch Substitution dann wieder auflösen.
Aber versuch dich erstmal an den Punkten 1-4. Wenn du die gut hast, kannst du weiter sehen.
Hier die Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viel Erfolg und ich hoffe, es hilft dir weiter!
Manatu
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 So 24.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es ist zwar lange her, aber wenn ich mich recht entsinne, steht die Kugel mit dem Südpol S auf einer Ebene E, und vom Nordpol N wird ein Strahl durch die Kugel hindurch geschickt. Der Austrittspunkt A der Kugeloberfläche wird dann auf auf den Punkt A' der Ebene abgebildet, in dem der Strahl von N durch A die Ebene E trifft wird, oder?
Wenn du die Kugel durch eine Ebene schneidest, in der N, S und A liegen, vereinfacht sich das Problem etwas. Die Kugel wird in der Schnittebene zum Kreis, A'S ist eine Tangente am Kreis und AN eine Sekante. (siehe Sekanten-Tangentensatz --> beweisbar über ähnliche Dreiecke)
SA steht übrigens senkrecht auf A'N (Thales!). Das Dreieck A'SN ist ja auch rechtwinklig mit SA als Höhe (Kathetensatz und Höhensatz gelten.)
Damit lässt sich schon einmal vieles veranschaulichen (auch der Grenzprozess, wenn sich A auf N zubewegt.
Viele Grüße
Abakus
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Stereografische_Projektion.jpg){kind=small}
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