Punktbestimmung im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten in einem Punkt S (Fig. 2). Der Punkt S teilt jede dieser Verbindungsstrecken im Verhältnis 1:2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S in einem Dreieck ABS mit
a) A (1|1), B (5|5), C (3|7)
b) A (0|0|0), B (2|3|4), C (-1|5|-2) |
In der Zeichnung ist das Dreieck nicht gleichmäßig und von jedem Punkt ist zur gegenüberliegenden Seitenmitte eine Gerade gezogen (Seitenhalbierende?). Alles schneidet sich in dem Punkt S. Die Gerade von C zur Mitte der Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] wird erst nach zwei Drittel von den anderen Geraden geschnitten, der untere Teil ist also halb so lang wie der obere.
Es wäre nett, wenn mir jemand Tipps geben würde, wie ich das berechnen kann. Bei b) hatte ich keine Idee, aber bei a) dachte ich, weil C (3|7), könnte ich den x-Wert nehmen und den y-Wert einfach dritteln, aber mir wurde gesagt, das gehe wohl nicht, weil das Dreieck nicht gleichmäßig sei.
Ich hab außerdem mal die Vektoren ausgerechnet: [mm] \overrightarrow{AB}: \vektor{4 \\ 4}, \overrightarrow{AC}: \vektor{2 \\ 6}, \overrightarrow{BC}: \vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
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Hallo,
> In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungsstrecken der
> Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten in einem
> Punkt S (Fig. 2). Der Punkt S teilt jede dieser
> Verbindungsstrecken im Verhältnis 1:2. Bestimmen Sie die
> Koordinaten des Punktes S in einem Dreieck ABS mit
> a) A (1|1), B (5|5), C (3|7)
> b) A (0|0|0), B (2|3|4), C (-1|5|-2)
> In der Zeichnung ist das Dreieck nicht gleichmäßig und
> von jedem Punkt ist zur gegenüberliegenden Seitenmitte
> eine Gerade gezogen (Seitenhalbierende?). Alles schneidet
> sich in dem Punkt S. Die Gerade von C zur Mitte der Strecke
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] wird erst nach zwei Drittel von den
> anderen Geraden geschnitten, der untere Teil ist also halb
> so lang wie der obere.
>
> Es wäre nett, wenn mir jemand Tipps geben würde, wie ich
> das berechnen kann. Bei b) hatte ich keine Idee, aber bei
> a) dachte ich, weil C (3|7), könnte ich den x-Wert nehmen
> und den y-Wert einfach dritteln, aber mir wurde gesagt, das
> gehe wohl nicht, weil das Dreieck nicht gleichmäßig sei.
Vergiss mal irgendwelche 'gleichmäßigen' Dreiecke. Was soll das überhaupt sein? Ich kenne bspw. gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke habe aber von gleichmäßigen Dreiecken noch nie gehört.
Dann: bitte beschäftige dich in deinem eigenen Interesse nochmals ausführlich mit der Theamtik Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Wenn man das nämlich verstanden hat, dann sind diese Aufgaben bestenfalls Zweizeiler.
Beide Aufgaben, also a) und b) gehen völlig analog, da gibt es keinen Unterschied.
- Berechne eine beliebige Seitenmitte
- Berechne den Vektor vom gegenüberliegenden Eckpunkt zu dieser Seitenmitte
- Multipliziere diesen Vektor mit einem geeigneten Skalar und addiere ihn zum Orstvektor desjenigen Eckpunkts hinzu, von dem er ausgeht
Ach ja: die Dinger heißen wirklich Seitenhalbierende. 
Gruß, Diophant
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Dann hab ich da ganz umsonst so lange dran gesessen. Mit der Skalarmultiplikation hatte ich mich gar nicht lange befasst, weil es eben logisch und nicht schwierig war und dann in dem Fall nicht daran gedacht. Ich hab:
a) [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4}
[/mm]
[mm] 0,5*\vektor{4 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AM}
[/mm]
M = (2|0)
[mm] \overrightarrow{MC} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3 \bruch{1}{3}}
[/mm]
S = [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3 \bruch{1}{3}}
[/mm]
Dankeschön, Diophant!
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Hallo,
> Dann hab ich da ganz umsonst so lange dran gesessen. Mit
> der Skalarmultiplikation hatte ich mich gar nicht lange
> befasst, weil es eben logisch und nicht schwierig war und
> dann in dem Fall nicht daran gedacht. Ich hab:
>
> a) [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 4}[/mm]
> [mm]0,5*\vektor{4 \\ 4}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AM}[/mm]
> M = (2|0)
> [mm]\overrightarrow{MC}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 7}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 7}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ 3 \bruch{1}{3}}[/mm]
>
> S = [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ 3 \bruch{1}{3}}[/mm]
>
Das ist leider völlig falsch. Es geht schon beim Mittelpunkt [mm] M_{AB} [/mm] lso. Ich kapiere nicht einmal, was du da eigentlich gemacht hast, Zur Erinnerung: die Mitte zwischen zwei Punkten A, B bekommt man mittels
[mm]\vec{m}_{AB}= \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}[/mm]
Und dann halt der ewig gleiche Rat: die gegebenen Tipps auch beherzigen. Nicht, dass ich nicht auch manchmal irre, aber du fragst, jemand antwortet, was ist dann wohl in einem Matheforum der nächste Schritt? 
Gruß, Diophant
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> - Berechne eine beliebige Seitenmitte
> - Berechne den Vektor vom gegenüberliegenden Eckpunkt zu dieser > Seitenmitte
> - Multipliziere diesen Vektor mit einem geeigneten Skalar und addiere ihn > zum Orstvektor desjenigen Eckpunkts hinzu, von dem er ausgeht
> Und dann halt der ewig gleiche Rat: die gegebenen Tipps auch beherzigen.
Das habe ich allerdings getan. Vorher hatte ich nicht mal den Lösungsansatz von dem du meintest, er sei völlig falsch. Ich dachte, wenn ich den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ausrechne und das mit 0,5 multipliziere, müsste ich die Mitte haben. Dann den Vektor [mm] \overrightarrow{MC} [/mm] ausgerechnet und das gedrittelt, weil der Punkt S nach dem ersten Drittel kommt.
Die von dir genannte Formel [mm] \vec{m}_{AB}= \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} [/mm] kannte ich nicht und ich kann ähnliches bei mir im Buch nicht finden. Ich sehe auch ehrlich gesagt nicht, wieso ich den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] nicht einfach halbieren durfte. Und wieso ich das addieren muss. Es gilt doch eigentlich: [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{\vektor{b_{1}} - \vektor{a_{1}} \\ \vektor{b_{2}} - \vektor{a_{2}}} [/mm] Und waren A (1|1), B (5|5), C (3|7) nicht Punkte und keine Vektoren?
Mein zweiter Versuch mit deiner Formel:
Erst einmal die Mitte berechnen: [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 6}
[/mm]
Dann den Vektor halbieren, also mit 0,5 multiplizieren: [mm] 0,5*\vektor{6 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AM}
[/mm]
M = (3|3)
Und nun
> - Berechne den Vektor vom gegenüberliegenden Eckpunkt zu dieser Seitenmitte
Ich war mir jetzt nicht sicher, ob ich hier auch addieren muss. Wenn ich es tue, kommt folgendes raus: [mm] \vektor{3 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 10} [/mm] = [mm] \overrightarrow{MC}
[/mm]
[mm] 0,3*\vektor{6 \\ 10} [/mm] = [mm] \vektor{1,8 \\ 3 \bruch{1}{3}}
[/mm]
Ist es so richtig?
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> Das habe ich allerdings getan. Vorher hatte ich nicht mal
> den Lösungsansatz von dem du meintest, er sei völlig
> falsch. Ich dachte, wenn ich den Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> ausrechne und das mit 0,5 multipliziere, müsste ich die
> Mitte haben. Dann den Vektor [mm]\overrightarrow{MC}[/mm]
> ausgerechnet und das gedrittelt, weil der Punkt S nach dem
> ersten Drittel kommt.
>
> Die von dir genannte Formel [mm]\vec{m}_{AB}= \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}[/mm]
> kannte ich nicht und ich kann ähnliches bei mir im Buch
> nicht finden. Ich sehe auch ehrlich gesagt nicht, wieso ich
> den Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] nicht einfach halbieren
> durfte.
Das war schon richtig. Du hattest auch den richtigen
Vektor [mm] \vec{AM}=\pmat{2\\2}.
[/mm]
Im nächsten Schritt hast du dann aber notiert: M(2|0),
was falsch ist. Richtig wäre gewesen:
[mm] $\vec{M}=\vec{A}+\overrightarrow{AM}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1}+\pmat{2\\2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{3\\3}$
[/mm]
Der richtige Punkt M hat also die Koordinaten M(3|3) .
Zu meiner Schreibweise: ich schreibe [mm] \vec{M} [/mm] für den
Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] , um nicht immer das O mitschreiben
zu müssen.
> Und wieso ich das addieren muss. Es gilt doch
> eigentlich: [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{\vektor{b_{1}} - \vektor{a_{1}} \\ \vektor{b_{2}} - \vektor{a_{2}}}[/mm]
> Und waren A (1|1), B (5|5), C (3|7) nicht Punkte und keine
> Vektoren?
> Mein zweiter Versuch mit deiner Formel:
> Erst einmal die Mitte berechnen: [mm]\overrightarrow{A}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 6}[/mm]
> Dann den Vektor
> halbieren, also mit 0,5 multiplizieren: [mm]0,5*\vektor{6 \\ 6}[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\ 3}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein ! Was du damit berechnet hast, ist nicht der
Vektor [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] , sondern direkt der Ortsvektor
[mm]\overrightarrow{OM}[/mm] (oder nach meiner Notation [mm]\overrightarrow{M}[/mm])
des Punktes M.
> M = (3|3)
> Und nun
> > - Berechne den Vektor vom gegenüberliegenden Eckpunkt zu
> dieser Seitenmitte
> Ich war mir jetzt nicht sicher, ob ich hier auch addieren
> muss. Wenn ich es tue, kommt folgendes raus: [mm]\vektor{3 \\ 3}[/mm]
> + [mm]\vektor{3 \\ 7}\ =\ \vektor{6 \\ 10}\ =\ \overrightarrow{MC}[/mm]
> [mm]0,3*\vektor{6 \\ 10}\ =\ \vektor{1,8 \\ 3 \bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Ist es so richtig?
Nein, das ist wieder Unsinn.
Wenn wir den Mittelpunkt M der Seite [mm] \overline{AB} [/mm] haben, müssen
wir als nächstes den Verbindungsvektor von diesem Punkt M
zum gegenüberliegenden Eckpunkt C berechnen, also
[mm] $\overrightarrow{MC}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{C}-\overrightarrow{M}$
[/mm]
Weiter dann so:
[mm] $\overrightarrow{MS}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{3}* \overrightarrow{MC}$
[/mm]
Und dann, um zum gesuchten Punkt S zu kommen:
[mm] $\overrightarrow{S}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}+\overrightarrow{MS}$
[/mm]
Zum Schluss eine nette Vorankündigung: Vermutlich werdet
ihr schon bald eine ganz einfache Formel kennenlernen,
nach der man den Schwerpunktvektor [mm] \overrightarrow{S} [/mm] eines Dreiecks ABC
ganz einfach aus den drei Ortsvektoren [mm] \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C} [/mm] berechnen
kann.
LG , Al-Chw.
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Also noch mal:
a) A (1|1), B (5|5), C (3|7)
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4}
[/mm]
0,5* [mm] \vektor{4 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AM}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AM} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MC} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \vektor{3 - 3 \\ 7 - 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4}
[/mm]
[mm] 0,3*\vektor{0 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1,2}
[/mm]
So?
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> Also noch mal:
> a) A (1|1), B (5|5), C (3|7)
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 4}[/mm]
> 0,5* [mm]\vektor{4 \\ 4}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AM}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{3 \\ 3 }[/mm]
> [mm]\overrightarrow{MC}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OC}[/mm]
> - [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] = [mm]\vektor{3 - 3 \\ 7 - 3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]0,3*\vektor{0 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1,2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> So?
Es werden bestimmt exakte Resultate erwartet.
Es geht also nicht, den Faktor [mm] \frac{1}{3} [/mm] durch 0.3 zu
ersetzen !
Ferner solltest du in der Rechnung auch weiterhin
vollständige Gleichungen mit den inhaltlichen
Bezeichnungen angeben, nicht nur zahlenmäßige
Rechnungen wie in deiner letzten Zeile.
Noch eine Bemerkung: Du benützt offenbar viel zu
viele [mm] und [/mm] Symbole. Das Ergebnis ist,
dass deine Texte im weiteren Verlauf verzettelt werden,
wie du es hier oben sehen kannst.
Auf jeder Zeile (bzw. für jede Formel oder Gleichung)
sollte eigentlich ein einziges solches Paar genügen.
LG , Al-Chw.
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[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{0 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1,\overline{3}} [/mm] = S
Bzgl. des Verzettelns: Ich nehme an, du meintest, ich solle es auf mehr Zeilen verteilen. Danke für den Tipp.
Und danke für die Hilfe.
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> [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{0 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1,\overline{3}}[/mm]
> = S
Nein, das ist noch nicht der Punkt S, sondern erst
mal der Vektor [mm] \overrightarrow{MS} [/mm] .
Um [mm] \vec{S} [/mm] zu erhalten, musst du diesen Vektor zum
Ortsvektor von M addieren:
[mm] $\overrightarrow{S}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}+\overrightarrow{MS}$
[/mm]
> Bzgl. des Verzettelns: Ich nehme an, du meintest, ich solle
> es auf mehr Zeilen verteilen.
Nein, das meine ich nicht, sondern: du solltest zum
Beispiel in der Zeile ganz zuoberst, die du so geschrieben hast:
(1) [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{0 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1,\overline{3}}[/mm] = S :-)
auf alle ausser einem "mm-Paar" verzichten, so:
(2) [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{0 \\ 4}\ =\ \vektor{0 \\ 1,\overline{3}}\ =\ S [/mm] :-)
Anstatt des periodischen Bruches [mm] 1,\overline{3} [/mm] würde ich den
Bruch [mm] \frac{4}{3} [/mm] vorziehen.
LG , Al-Chw.
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Ich hab das [mm] nicht geschrieben. Kommt das automatisch, wenn ich irgendwas anderes schreibe? Ich kenn mich damit nicht aus.
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> Ich hab das [mm]nicht geschrieben. Kommt das automatisch, wenn ich irgendwas anderes schreibe? Ich kenn mich damit nicht aus.
Oh, entschuldige ...
immer, wenn man LaTeX-Ausdrücke verwendet, die
mit einem Backslash " \ " eingeleitet werden, werden
die durch solche [mm] Symbole umklammert. Stehen
aber dann auf einer Zeile mehrere solche Terme
hintereinander, so werden diese Zeilen später oft
in Bruchstücke aufgetrennt und in verschiedenen
Zeilen dargestellt, was dann oft sehr unleserlich
wird. Eigentlich ist das ein Fehler des Editors, den
man aber umschiffen kann, wenn man sich zur
Gewohnheit macht, die Latex-"Beklammerung"
selbst zu übernehmen und also jeweils ganze
Zeilen (und z.B. nicht einzelne Terme in einer
fortlaufenden Gleichungskette) zu "latexisieren".
Das Phänomen der verzettelten Zeilen tritt hier
leider recht oft auf. Ich habe es nur hier wieder
einmal angetroffen. Eigentlich wäre es aber eine
Frage an den Webmaster oder die übrigen
Informatik-Spezialisten des Matheraums ...
LG , Al-Chw.
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Dankeschön! Und schönen Abend noch.
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