Punkt,Eckpunkt,Kegelerzeugende < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:12 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | Gegeben sei der Zulässigkeitsbereich [mm] X=\{x\in \IR^7| A*x=b, x\ge0\} [/mm] durch
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & -1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 &3 & -1 & -1 & 1 } [/mm]
b= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 } [/mm]
Geben sie für jeden der Vektoren :
[mm] x_{1} =\vektor{0 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 \\ 0,5 \\ 1,5 \\ 2 } [/mm]
[mm] x_{2} =\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \\ 5 } [/mm]
[mm] x_{3} =\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm]
[mm] x_{4} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \\ 5 \\ 6 } [/mm]
[mm] x_{5} =\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm]
[mm] x_{6} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm]
an, ob er a) Punkt,
b) Eckpunkt oder
c) Kegelerzeugende von X ist
Begründen Sie ihre Aussage ausreichend und ausdrücklich unter Verwendung der Matrix A, d.h. ohne Pivotschritte
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Sei K Teilmenge eines Vektorraumes. ein Element [mm] x\inK [/mm] heisst Ecke oder Extremalpkt von K, wenn sich x nicht als echte Konvexkombination zweier verscheidener Elemente von K darstellen lässt, d.h. wenn gilt:
x^ [mm] =\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y [/mm] mit [mm] x,y\in [/mm] K und [mm] \lambda\in]0,1[\Rightarrow [/mm] x=y=x^
Ein Punkt x^ =(x^_{1},...,x^_{n}) des Zulässigkeitsbereiches X={x [mm] \in\IR^n [/mm] | Ax=b, [mm] x\ge0} [/mm] ist genau dann Ecke, wenn die zu den (echt) positiven Komponenten von x^gehörenden Spaltenvektoren von a linear unabhängig sind.
Heisst das im klartext, dass ich z.b. wenn ich [mm] x_{3} [/mm] überprüfen will, ob er ein Punkt ist schauen muss ob die Spalten [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{-1 \\ -4 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] auf lineare unabhängigkeit prüfen muss?
Wie funktioniert das ganze bei einer Ecke, das ist mir noch nicht so ganz klar..
mfg Incibus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Do 05.07.2007 | | Autor: | Incibus |
kann mir da keiner weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 19.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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