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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(5/2/-1),B(3/6/3),C(-1/2/5) und D(1/-2/1) gegeben.Diese bilden ein Quadrat,welches die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(6/0/6) ist.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, der von den Punkten A,B,C,D und S jeweils die gleiche Entfernung hat. |
Hallo^^
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.Ich hab mir schonmal überlegt,dass der Punkt P in der Pyramide liegen könnte und hab gedacht,dass ich zuerst den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats bestimme,das wäre sozusagen der Mittelpunkt des Quadrats (obwohl ein Quadrat eigentlich keinen Mittelpunkt hat).
Dann muss ich noch die z-Koordinate vom M verändern,damit er auch zu S den gleichen Abstand hat.Hier wusste ich aber nicht wie ich das machen soll?
Stimmt mein Ansatz eigentlich so?
Vielen Dank
lg
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> In einem Koordinatensystem sind die Punkte
> A(5/2/-1),B(3/6/3),C(-1/2/5) und D(1/-2/1) gegeben.Diese
> bilden ein Quadrat,welches die Grundfläche einer Pyramide
> mit der Spitze S(6/0/6) ist.
>
> a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, der von den
> Punkten A,B,C,D und S jeweils die gleiche Entfernung hat.
> Hallo^^
>
> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.Ich hab mir schonmal
> überlegt,dass der Punkt P in der Pyramide liegen könnte
> und hab gedacht,dass ich zuerst den Schnittpunkt der
> Diagonalen des Quadrats bestimme,das wäre sozusagen der
> Mittelpunkt des Quadrats (obwohl ein Quadrat eigentlich
> keinen Mittelpunkt hat).
Hallo,
ich finde den Ansatz gut:
der Punkt muß ja auf der Geraden liegen, die durch die "Mitte" M des Quadrates geht und auf der Grundfläche senkrecht steht.
Stell also erstmal deren Gleichung auf.
Du hast dann eine Geradengleichung [mm] g:\qquad \vec{x}=\overrightarrow{0M}+ \lambda \vec{n},
[/mm]
und Du suchst nun das [mm] \lambda_0, [/mm] für welches der Abstand des Punktes P mit [mm] \overrightarrow{0P}=\overrightarrow{0M}+ \lambda_0 \vec{n} [/mm] zur Grundebene EDIT: zum Punkt A genauso groß ist, wie der von P zu S, also der Betrag von [mm] \overrightarrow{PS}
[/mm]
> Dann muss ich noch die z-Koordinate vom M verändern,damit
> er auch zu S den gleichen Abstand hat.Hier wusste ich aber
> nicht wie ich das machen soll?
Hier war das Problem: Du mußt nicht die z-Koordinate verändern, sondern Du mußt den Punkt P in Richtung des Normalenvektors passend verschieden, denn die Grundfläche Deiner Pyramide ist nicht parallel zur xy-Ebene.
Gruß v. Angela
> Stimmt mein Ansatz eigentlich so?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 18.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> > In einem Koordinatensystem sind die Punkte
> > A(5/2/-1),B(3/6/3),C(-1/2/5) und D(1/-2/1) gegeben.Diese
> > bilden ein Quadrat,welches die Grundfläche einer Pyramide
> > mit der Spitze S(6/0/6) ist.
> >
> > a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, der von den
> > Punkten A,B,C,D und S jeweils die gleiche Entfernung hat.
> > Hallo^^
> >
> > Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.Ich hab mir schonmal
> > überlegt,dass der Punkt P in der Pyramide liegen könnte
> > und hab gedacht,dass ich zuerst den Schnittpunkt der
> > Diagonalen des Quadrats bestimme,das wäre sozusagen der
> > Mittelpunkt des Quadrats (obwohl ein Quadrat eigentlich
> > keinen Mittelpunkt hat).
>
>
> Hallo,
>
> ich finde den Ansatz gut:
>
> der Punkt muß ja auf der Geraden liegen, die durch die
> "Mitte" M des Quadrates geht und auf der Grundfläche
> senkrecht steht.
> Stell also erstmal deren Gleichung auf.
>
> Du hast dann eine Geradengleichung [mm]g:\qquad \vec{x}=\overrightarrow{0M}+ \lambda \vec{n},[/mm]
>
> und Du suchst nun das [mm]\lambda_0,[/mm] für welches der Abstand
> des Punktes P mit [mm]\overrightarrow{0P}=\overrightarrow{0M}+ \lambda_0 \vec{n}[/mm]
> zur Grundebene genauso groß ist, wie der von P zu S, also
> der Betrag von [mm]\overrightarrow{PS}[/mm]
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> > Dann muss ich noch die z-Koordinate vom M verändern,damit
> > er auch zu S den gleichen Abstand hat.Hier wusste ich aber
> > nicht wie ich das machen soll?
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> Hier war das Problem: Du mußt nicht die z-Koordinate
> verändern, sondern Du mußt den Punkt P in Richtung des
> Normalenvektors passend verschieden, denn die Grundfläche
> Deiner Pyramide ist nicht parallel zur xy-Ebene.
>
> Gruß v. Angela
>
> > Stimmt mein Ansatz eigentlich so?
>
>
> >
> > Vielen Dank
> >
> > lg
>
ich hätte die aufgabe so verstanden:
|PS|=|PA|
weiters scheinen die koordinaten der spitze falsch zu sein, denn mit M(2/2/2) und [mm] \vec{n}=(2,-1,2)^T [/mm] liegt sie nicht auf der lotgeraden. sollte das S(6/4/6) heißen?
(aber ich traue meinen rechenkünsten nicht).
wenn es sich allerdings NICHT um eine gerade pyramide handelt, ist der skizzierte weg vermutlich nicht gangbar und es ist auch fraglich, ob der gesuchte punkt existiert
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> ich hätte die aufgabe so verstanden:
>
> |PS|=|PA|
Hallo,
ohja, so hatte ich das auch verstanden - und dies wohl unterwegs aus den Augen verloren...
Ich hab's korrigiert.
Danke.
>
> weiters scheinen die koordinaten der spitze falsch zu sein,
> denn mit M(2/2/2) und [mm]\vec{n}=(2,-1,2)^T[/mm] liegt sie nicht
> auf der lotgeraden. sollte das S(6/4/6) heißen?
> (aber ich traue meinen rechenkünsten nicht).
Ich meinen auch nicht, aber mein Normalenvektor war [mm] \vec{n}=\vektor{-2\\1\\-2}, [/mm] und damit liegt S auf der Lotgeraden.
> wenn es sich allerdings NICHT um eine gerade pyramide
> handelt, ist der skizzierte weg vermutlich nicht gangbar
Ich war nicht von vornherein davon ausgegangen, daß die Pyramide gerade ist.
Warum funktioniert der Weg dann nicht?
Der gesuchte Punkt kann doch nirgends anders liegen, als auf der Lotgeraden durch M.
> und es ist auch fraglich, ob der gesuchte punkt existiert
Ja, die Existenz eines solchen Punktes ist eine andere Frage - wobei ich zur Minute der Meinung bin, daß es diesen Punkt auf jeden Fall gibt:
eine passende Senkrechte durch die Mitte der Strecke AS sollte die Lotgerade doch treffen, oder?
Es sei denn, die Pyramide hat die Höhe 0, und S liegt so, daß die Strecke [mm] SM\not= [/mm] AM.
Was meinst Du?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Do 18.03.2010 | | Autor: | weduwe |
ja ich weiß jetzt auch gerade nicht, was richtig ist.
aber ich denke, du hast zu 100% recht.
jeder punkt auf der senkrechten durch M hat gleichen abstand von den 4 ecken des quadrates und einer davon muß der gesuchte punkt P sein, für den gilt |PS| = |AP|
mit "meinem" normalenvektor
[mm] (t\cdot\vektor{2\\-1\\2}+\vektor{-3\\0\\3})^2=(t\cdot\vektor{2\\-1\\2}+\vektor{-4\\2\\-4})^2\to t=\frac{1}{2}
[/mm]
P(3/1.5/3) ?
entschuldigung für die (potentielle) verwirrung 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> ja ich weiß jetzt auch gerade nicht, was richtig ist.
> aber ich denke, du hast zu 100% recht.
> jeder punkt auf der senkrechten durch M hat gleichen
> abstand von den 4 ecken des quadrates und einer davon muß
> der gesuchte punkt P sein, für den gilt |PS| = |AP|
>
> mit "meinem" normalenvektor
>
> [mm](t\cdot\vektor{2\\-1\\2}+\vektor{-3\\0\\3})^2=(t\cdot\vektor{2\\-1\\2}+\vektor{-4\\2\\-4})^2\to t=\frac{1}{2}[/mm]
>
> P(3/1.5/3) ?
Hey,das hab ich auch raus,aber wenn ich damit die Beträge der Verbindungsvektoren berechne,sind die nicht gleich ?
lg
> entschuldigung für die (potentielle) verwirrung
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> > P(3/1.5/3) ?
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> Hey,das hab ich auch raus,aber wenn ich damit die Beträge
> der Verbindungsvektoren berechne,sind die nicht gleich ?
Hallo,
bei mir schon...
Rechne die Beträge nochmal aus.
Gruß v. Angela
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