Prüfung auf Rationalität < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 Do 11.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zu x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] höchstens ein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] mit [mm] x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in\mathbb{Q} [/mm] gibt! |
Hmm, diese erste Teilaufgabe einer längeren Aufgabe gibt nur relativ wenig Punkte und sollte daher nicht so schwer zu lösen sein. Andererseits muss ich zugeben dass mir momentan überhaupt nicht klar ist, wie ich zeige dass eine Zahl rationell ist. Klar der Wurzelausdruck müsste wegfallen aber... Über einen Tipp zur herangehensweise würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Fr 12.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm doch einfach mal an es gäbe ein n und ein m und komm damit zu nem Widerspruch .
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 13.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zu x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] höchstens ein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] mit [mm] x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in\mathbb{Q} [/mm] gibt! |
Das habe ich mir auch schon überlegt. Also müsste dann gezeigt werden dass bei n [mm] \ne [/mm] m nicht beide Ausdrücke in [mm] \mathbb{Q} [/mm] sein können oder dass in diesem Falle n=m gilt. Das Problem ist halt nur dass ich keine Idee hab wie ich das Zeigen kann. Also ich glaube ich bräuchte einen Hinweis wie: [mm] x\in \IQ \leftrightarrow ?
Wobei ? ein Ausdruck ist der mir weiter hilft den Widerspruch aufzuzeigen...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dmy!
Eine rationale Zahl zeichnet sich dadurch aus, dass sie sich als Bruch aus ganzen Zahlen darstellen lässt:
[mm] $$x\in\IQ [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ x \ = \ [mm] \bruch{p}{q} [/mm] \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ [mm] p,q\in\IZ$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 13.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zu x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] höchstens ein n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] mit [mm] x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in\mathbb{Q} [/mm] gibt! |
Hmm, es gilt ja [mm] x+\frac{\sqrt{2}}{n} [/mm] = [mm] \frac{nx+\sqrt{2}}{n}
[/mm]
Der Nenner ist offensichtlich eine ganze Zahl. Wenn es sich hierbei um eine rationale Zahl handeln soll muss also auch der Nenner, [mm] nx+\sqrt{2}, [/mm] eine ganze Zahl sein.
Wenn ich nun davon ausgehe dass [mm] (\IR [/mm] \ [mm] \IQ) \cup [/mm] {0} bzgl. der Addition abgeschlossen ist, dann wäre die Sache ja klar denn dann müsste [mm] x=-\frac{\sqrt{2}}{n} [/mm] gelten.
Damit wäre dass n fest.
Frage: Ist meine Schlussfolgerung korrekt? Und ist [mm] R\Q \cup [/mm] {0} bzgl. der Addition abgeschlossen?
Falls die Abgeschlossenheit der Addition nicht gegeben ist, wäre die Frage ja wann die Summe von zwei Elementen aus [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ein Element aus [mm] \IQ [/mm] wird.
--
Nach dem Tipp von Felix habe ich die Aufgabe nun viel einfacher gelöst... Trotzdem würde mich das oben gefragte interessieren...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 13.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass es zu x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] höchstens ein n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in\mathbb{Q}[/mm] gibt!
> Hmm, es gilt ja [mm]x+\frac{\sqrt{2}}{n}[/mm] =
> [mm]\frac{nx+\sqrt{2}}{n}[/mm]
> Der Nenner ist offensichtlich eine ganze Zahl. Wenn es
> sich hierbei um eine rationale Zahl handeln soll muss also
> auch der Nenner, [mm]nx+\sqrt{2},[/mm] eine ganze Zahl sein.
Jetzt meinst du den Zaehler :)
> Wenn ich nun davon ausgehe dass [mm](\IR[/mm] \ [mm]\IQ) \cup[/mm] {0} bzgl.
> der Addition abgeschlossen ist, dann wäre die Sache ja klar
Ist es aber nicht: es liegen z.B. [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und $1 - [mm] \sqrt{2}$ [/mm] in [mm] $(\IR \setminus \IQ) \cup \{ 0 \}$, [/mm] aber [mm] $\sqrt{2} [/mm] + (1 - [mm] \sqrt{2}) [/mm] = 1$ liegt nicht in [mm] $(\IR \setminus \IQ) \cup \{ 0 \}$.
[/mm]
> denn dann müsste [mm]x=-\frac{\sqrt{2}}{n}[/mm] gelten.
Gilt allerdings nicht.
> Damit wäre dass n fest.
> Frage: Ist meine Schlussfolgerung korrekt? Und ist [mm]R\Q \cup[/mm]
> {0} bzgl. der Addition abgeschlossen?
> Falls die Abgeschlossenheit der Addition nicht gegeben
> ist, wäre die Frage ja wann die Summe von zwei Elementen
> aus [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] ein Element aus [mm]\IQ[/mm] wird.
Nun, genau dann wenn die Summe ein Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Das ist die einfachste Charakterisierung von solch zwei Elementen, eine andere (sinnvolle) kenn ich nicht.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 13.12.2008 | | Autor: | dmy |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (g_n) [/mm] in [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] sei wie folgt definiert [mm] :\\
[/mm]
[mm] g_n(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x+\frac{\sqrt{2}}{n} \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes nichtleere, offene Intervall I ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] ||g_n|_I||_I \ge [/mm] 1 für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] ist. |
Vielen Dank für die bisherigen Hilfestellungen!
So, dass ist jetzt eine weitere Teilaufgabe dazu.
Zuerst habe ich dass ganze etwas vereinfacht: Eine äquivalente aber einfachere Aussage scheint mir:
Für jedes nichtleere, offene Intervall I existiert ein [mm] n_0 [/mm] so dass für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] gilt: [mm] \exists x\in I:x+\frac{\sqrt{2}}{n} \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \exists x\in I : xn+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}
\\Letzteres gilt, da das Produkt zweier rationeler Zahlen wieder rationel ist...
Wie man jetzt aber nachweisen kann dass in jedem nichtleeren Intervall I so ein x vorhanden ist, ist mir momentan nicht klar... Über einen Gedankenanstoss würde ich mich sehr freuen!
[/mm]
|
|
|
| |
|
hi dmy,
zwei Zitate aus deinen Posts:
> Andererseits muss ich zugeben dass mir momentan überhaupt
> nicht klar ist, wie ich zeige dass eine Zahl rationell ist.
> Letzteres gilt, da das Produkt zweier rationeler Zahlen wieder
> rationel ist...
Die Elemente der Menge [mm] \IQ [/mm] heissen weder "rationelle"
noch "rationele", sondern rationale Zahlen !
Ebenso ist [mm] \IR [/mm] nicht die Menge der "realen" oder "reelen",
sondern die der reellen Zahlen.
(letztere Fehler kamen zwar bei dir nicht vor; ich nenne
sie hier aber trotzdem, weil man sie ebenfalls recht
häufig antrifft)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Folge [mm](g_n)[/mm] in [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm] sei wie folgt definiert
> [mm]:\\[/mm]
>
> [mm]g_n(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x+\frac{\sqrt{2}}{n} \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für jedes nichtleere, offene Intervall I
> ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] existiert, sodass [mm]||g_n|_I||_I \ge[/mm] 1 für
> alle n [mm]\ge n_0[/mm] ist.
Ist damit die Supremumsnorm gemeint? Also [mm] $\|g_n|_I\|_I [/mm] = [mm] \sup_{x \in I} |g_n|_I(x)|$?
[/mm]
Oder ist eine andere Norm gemeint? Wenn ja, gib diese an!
> Vielen Dank für die bisherigen Hilfestellungen!
> So, dass ist jetzt eine weitere Teilaufgabe dazu.
> Zuerst habe ich dass ganze etwas vereinfacht: Eine
> äquivalente aber einfachere Aussage scheint mir:
>
> Für jedes nichtleere, offene Intervall I existiert ein [mm]n_0[/mm]
> so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt: [mm]\exists x\in I:x+\frac{\sqrt{2}}{n} \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \exists x\in I : xn+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[/mm]
>
> Letzteres gilt, da das Produkt zweier rationeler Zahlen wieder rationel ist...
Nein, du meinst: letzteres gilt, weil das Produkt einer rationalen Zahl (ungleich 0) mit einer anderen Zahl genau dann rational ist, wenn die andere Zahl auch rational ist.
> Wie man jetzt aber nachweisen kann dass in jedem nichtleeren Intervall I
> so ein x vorhanden ist, ist mir momentan nicht klar... Über einen Gedankenanstoss würde ich mich sehr freuen!
Zeige doch erstmal, dass es ueberhaupt irgendein $x$ gibt fuer welches [mm] $g_n(x) [/mm] = 1$ ist. (Das ist sehr, sehr einfach.)
Und dann ueberleg dir folgendes: ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $g_n(x) [/mm] = 1$ und $r [mm] \in \IQ$, [/mm] so ist auch [mm] $g_n(x [/mm] + r) = 1$.
Was kannst du jetzt ueber die Menge [mm] $\{ x \in \IR \mid g_n(x) = 1 \}$ [/mm] aussagen?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 So 14.12.2008 | | Autor: | dmy |
Danke für die Tipps. Aber wenn ich das jetzt richtig verstehe kann jetzt [mm] n_0 [/mm] immer beliebig sein. D.H. auch mit [mm] n_0 [/mm] =1 gibt es immer einn passendes X in jedem Intervall, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für die Tipps. Aber wenn ich das jetzt richtig
> verstehe kann jetzt [mm]n_0[/mm] immer beliebig sein. D.H. auch mit
> [mm]n_0[/mm] =1 gibt es immer einn passendes X in jedem Intervall,
> richtig?
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 So 14.12.2008 | | Autor: | dmy |
Vielen Dank! Hab die ganze Aufgabe jetzt (in einer zumindest mir ;)) sinnvoll erscheinenden Form gelöst!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 13.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass es zu x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] höchstens ein n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in\mathbb{Q}[/mm] gibt!
>
> Das habe ich mir auch schon überlegt. Also müsste dann
> gezeigt werden dass bei n [mm]\ne[/mm] m nicht beide Ausdrücke in
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] sein können oder dass in diesem Falle n=m gilt.
> Das Problem ist halt nur dass ich keine Idee hab wie ich
> das Zeigen kann.
Wenn du zwei Elemente aus [mm] $\IQ$ [/mm] hast, ist deren Differenz auch in [mm] $\IQ$. [/mm] So wirst du das $x$ los und es bleiben nur noch [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] $n$ und $m$ ueber.
LG Felix
|
|
|
|
