Projektivität bestimmen < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 22.03.2014 | | Autor: | rekees |
| Aufgabe | | Bestimmen sie eine Projektivität mit F: [mm] P^1 \mapsto P^1 [/mm] mit 0 [mm] \mapsto [/mm] 1, [mm] 1\mapsto \infty [/mm] , [mm] \infty \mapsto [/mm] 0 |
Jetzt weiß ich dass [mm] \infty \mapsto \frac{d}{b} [/mm] und [mm] \frac{-a}{b} \mapsto \infty
[/mm]
Meine Matrix sieht so aus: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] für x [mm] \mapsto \frac{c+dx}{a+bx}
[/mm]
Wenn ich das nun entsprechend ausführe erhalte ich für [mm] \infty \mapsto [/mm] 1 [mm] \gdw \frac{d}{b} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] d=b
und für
1 [mm] \mapsto \infty \frac{-a}{b} \gdw [/mm] -a=b
für 2 [mm] \mapsto [/mm] 2 mache ich an dieser stelle dann: [mm] \frac{c+d2}{a+b2} [/mm] = 2 [mm] \gdw \frac{c+b2}{-b+2b} [/mm] =2 [mm] \gdw \frac{c+2b}{b} [/mm] = 2
jetzt komme ich nicht weiter, habe ich hier etwas falsche gemacht oder übersehen?
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Hallo,
> Bestimmen sie eine Projektivität mit F: [mm]P^1 \mapsto P^1[/mm]
> mit 0 [mm]\mapsto[/mm] 1, [mm]1\mapsto \infty[/mm] , [mm]\infty \mapsto[/mm] 0
> Jetzt weiß ich dass [mm]\infty \mapsto \frac{d}{b}[/mm] und
> [mm]\frac{-a}{b} \mapsto \infty[/mm]
>
> Meine Matrix sieht so aus: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] für x
> [mm]\mapsto \frac{c+dx}{a+bx}[/mm]
Sicher, dass du hier nichts vertauscht hast?
> Wenn ich das nun entsprechend ausführe erhalte ich für
> [mm]\infty \mapsto[/mm] 1 [mm]\gdw \frac{d}{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] d=b
Es steht nicht in der Angabe, dass das gelten soll. Sondern [mm] $\infty \mapsto [/mm] 0$
> und für
>
> 1 [mm]\mapsto \infty \frac{-a}{b} \gdw[/mm] -a=b
Da scheint irgendwas beim Eintippen schief gelaufen zu sein.
> für 2 [mm]\mapsto[/mm] 2 mache ich an dieser stelle dann:
> [mm]\frac{c+d2}{a+b2}[/mm] = 2 [mm]\gdw \frac{c+b2}{-b+2b}[/mm] =2 [mm]\gdw \frac{c+2b}{b}[/mm]
> = 2
Wieso tust du das? In der Aufgabenstellung, so wie du sie hier wiedergibst, ist keine Bedingung an das Bild von 2 gestellt.
Das ist ja auch gut so, da 2=0 gelten kann.
> jetzt komme ich nicht weiter, habe ich hier etwas falsche
> gemacht oder übersehen?
Du hast den dritten Punkt noch gar nicht verwurschtet.
(und die Zusätzbedingung an Projektiväten)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 So 23.03.2014 | | Autor: | rekees |
Hi,
Sorry bin bei der Aufgabenstellung verrutscht. Der dritte Punkt ist in der Tat 2 [mm] \mapsto [/mm] 2
Die Methode die ich hier verwende, habe ich so 1:1 aus der Vorlesung übernommen. Gibt es denn eine "bessere" Methode?
Bzw was mache ich falsch und wie kann ich es richtig machen, damit ich die Projektivität berechnen kann? Habe sonst leider nichts dazu gefunden.
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Die Methodik scheint in Ordnung zu sein.
Nur sehe ich keinen Zusammenhang zwischen den punkten, die du einsetzt und denen aus der Aufgabenstellung, die du angegeben hast.
Mir ist auch und insbesondere nach deinem letzten Post nicht klar was wirklich die Aufgabenstellung ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 So 23.03.2014 | | Autor: | rekees |
| Aufgabe | | Bestimmen sie eine Projektivität F: [mm] P^1 [/mm] -> [mm] P^1 [/mm] mit 1 [mm] \mapsto \infty [/mm] , 2 [mm] \mapsto [/mm] 2 und [mm] \infty \mapsto [/mm] 1 |
Entschuldigung ich bin gerade aufgewacht, daher läuft alles noch nicht in geraden Bahnen. Oben noch einmal die korrekte Aufgabenstellung. Bitte entschuldigt den Zahlendreher es war keine Absicht.
Hier die Definition aus folgendem Skript Seite 83 folgende: http://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf
Da steht dass eine Proktivität durch eine invertierbare 2x2 Matrix gegeben ist, nämlich [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
und sich durch eine gebrochen rationale Funktion beschreiben lässt: x [mm] \mapsto \frac{c+dx}{a+bx} [/mm] mit den Ausnahmewerten [mm] \infty [/mm] die durch [mm] \infty \mapsto \frac{d}{b} [/mm] und [mm] \frac{-a}{b} \mapsto \infty [/mm] dargestellt werden. Daher wäre mein obiges Vorgehen ja doch korrekt nur komme ich bei der 2 [mm] \mapsto [/mm] 2 nicht weiter.
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> Bestimmen sie eine Projektivität F: [mm]P^1[/mm] -> [mm]P^1[/mm] mit 1
> [mm]\mapsto \infty[/mm] , 2 [mm]\mapsto[/mm] 2 und [mm]\infty \mapsto[/mm] 1
> Entschuldigung ich bin gerade aufgewacht, daher läuft
> alles noch nicht in geraden Bahnen. Oben noch einmal die
> korrekte Aufgabenstellung. Bitte entschuldigt den
> Zahlendreher es war keine Absicht.
>
> Hier die Definition aus folgendem Skript Seite 83 folgende:
> http://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf
>
> Da steht dass eine Proktivität durch eine invertierbare
> 2x2 Matrix gegeben ist, nämlich [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> und sich durch eine gebrochen rationale Funktion
> beschreiben lässt: x [mm]\mapsto \frac{c+dx}{a+bx}[/mm] mit den
> Ausnahmewerten [mm]\infty[/mm] die durch [mm]\infty \mapsto \frac{d}{b}[/mm]
> und [mm]\frac{-a}{b} \mapsto \infty[/mm] dargestellt werden.
Kein Einspruch.
Ich habe nur gewundert da imho die Setzung x [mm]\mapsto \frac{a+bx}{c+dx}[/mm] wie z.B. hier
https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation
die üblichere ist.
> Daher wäre mein obiges Vorgehen ja doch korrekt nur komme ich
> bei der 2 [mm]\mapsto[/mm] 2 nicht weiter.
Lös doch $ [mm] \gdw \frac{c+2b}{b} [/mm] $ = 2 mal nach c auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 So 23.03.2014 | | Autor: | rekees |
Dann komme ich auf c = 0 und kann die Matrix letztendlich aufstellen...?
Mist wieso habe ich das niht gesehen, ich habe daran gedacht den Bruch auseimnander zu ziehen. Was für ein doofer Anfängerfehler. Vielen Dank.
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Ja, damit kannst du die Matrix hinschreiben.
Bedenke nach, dass die Matrix aus PGL(2,K)=GL(2,K)/K* ist, d.h. nur bis auf Mult. eindeutig bestimmt ist. (deshalb reichen auch 3 Gleichungen um die matrix zu bestimmen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 So 23.03.2014 | | Autor: | rekees |
Vielen Dank. Das Thema habe ich jetzt endgültig verstanden 
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