Projektion in der 4. Dimension < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Durch die Vektoren a= (1, -1,1,1) und b=(0,3,2,1) des [mm] R^4 [/mm] wird eine Ebene E aufgespannt. Sei w= (0,0,8,12). Bestimmen Sie den Vektor v (Element E), für den /v-w/ (Betrag) minimal ist. |
Hallo lieber Mathe Raum!
ich bin mit dieser Aufgabe leicht überfordert, da sich alles in der 4. Dimension abspielt.
Also zunächst hab ich festgestellt, dass a und b orthogonal sind. Ich hab auch verstanden, dass v die Projektion von w auf die Ebene ist. Man muss also das Lot (ich nenn es jetzt c)von w auf die Ebene fällen. Nun bin ich mir nicht sicher, ob ich mit der Formel c= <w,a>a+<w,b>b das lot berechnen kann...
irgendwie haut das bei mir alles nicht so hin...
kann mir vielleicht jemand weiter helfen?
ich wäre euch super dankbar!
Vielen Dank schon mal im Voraus!!
lg
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Durch die Vektoren a= (1, -1,1,1) und b=(0,3,2,1) des [mm]R^4[/mm]
> wird eine Ebene E aufgespannt. Sei w= (0,0,8,12). Bestimmen
> Sie den Vektor v (Element E), für den /v-w/ (Betrag)
> minimal ist.
> Also zunächst hab ich festgestellt, dass a und b orthogonal
> sind. Ich hab auch verstanden, dass v die Projektion von w
> auf die Ebene ist. Man muss also das Lot (ich nenn es jetzt
> c)von w auf die Ebene fällen.
Naja du musst nicht das Lot berechnen, sondern den "Fußpunkt des Lotes", das ist $v$.
> Nun bin ich mir nicht sicher,
> ob ich mit der Formel c= <w,a>a+<w,b>b das lot berechnen kann...
Das ist genau die richtige Formel für $v$.
Gruß, Robert
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Ok, danke für deine Antwort!
also krieg ich mit dieser formel den fußpunkt des Lotes berrechnet, welcher v entspricht?
dann würde das also laut der Formel heißen, dass
v= (20,-20,20,20)+(0,84,56,28)=(20,64,76,48)
aber laut lösung soll man für v=(5,1,9,7) erhalten.... ???
hab ich dann noch n schritt übersehen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 08.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Ahja... die Formel gilt natürlich nur für Orthonormalsysteme von $U$, also dem Untervektorraum auf den du projezierst. Du musst also $a$ und $b$ vorher noch normieren oder du rechnest gleich [mm] $v=\frac{\langle w,a\rangle}{\langle a, a\rangle}a+\frac{\langle w,b\rangle}{\langle b, b\rangle}b$.
[/mm]
Gruß, Robert
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