Projektion auf eine Gerade < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Gerade g = [mm] {(x,y)^{t} \in \IR^{2} | y = 2x }. [/mm] Ferner sei T : [mm] \IR^{2} ->\IR^{2} [/mm] die Abbildung, die jeden Punkt im [mm] \IR^{2} [/mm] parallel zur y-Achse auf g projiziert.
Zeigen Sie, dass T linear ist, und geben Sie die Matrix A an, die T bezüglich der Standartbasis der [mm] \IR^{2} [/mm] beschreibt. |
Hi,
also ich würde echt gern diese Aufgabe erstmal selbst probieren, aber dafür muss ich erst mal verstehen was die Abbildung macht? Was bedeutet denn parallel zur y-Achse auf g projizieren? Ist das die Spiegelung an der Achse oder einfach die Verschiebung parallel zu ihr?
Gruß Snafu
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> Gegeben sei die Gerade g = [mm]{(x,y)^{t} \in \IR^{2} | y = 2x }.[/mm]
> Ferner sei T : [mm]\IR^{2} ->\IR^{2}[/mm] die Abbildung, die jeden
> Punkt im [mm]\IR^{2}[/mm] parallel zur y-Achse auf g projiziert.
> Zeigen Sie, dass T linear ist, und geben Sie die Matrix A
> an, die T bezüglich der Standartbasis der [mm]\IR^{2}[/mm]
Du tust's schon wieder ...
> beschreibt.
> Hi,
>
> also ich würde echt gern diese Aufgabe erstmal selbst
> probieren, aber dafür muss ich erst mal verstehen was die
> Abbildung macht? Was bedeutet denn parallel zur y-Achse auf
> g projizieren? Ist das die Spiegelung an der Achse oder
> einfach die Verschiebung parallel zu ihr?
>
hallo,
das funktioniert so:
Vektoren in Richtung [mm] \vektor{0\\1} [/mm] werden auf den Nullvektor abgebildet, die in Richung der Geraden auf sich selbst.
(Die Gerade ist die Leinwand, der Strahl des Projektors läuft parallel zur y-Achse.
Gruß v. Angela
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Mist!!
StandarD.
Also ich habs jetzt durch Anschauen auf einem Koordinatensystem mit Einheitsvektoren gelöst. Wie geht das denn rein mathematisch? In der Vorlesung haben wir auch immer einfach aufs Koordinatensystem geguckt, was mit dein Einheitsvektoren passieren muss und dadurch die Matrix erstellt.
A= [mm] \pmat{ 1 & 0,5 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Sanfu
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> Mist!!
> StandarD.
> Also ich habs jetzt durch Anschauen auf einem
> Koordinatensystem mit Einheitsvektoren gelöst. Wie geht
> das denn rein mathematisch?
Na!
das haben wir doch heute gelernt.
Stell zuerst die Matrix bzgl der Basis [mm] B:=(\vektor{0\\1}, \vektor{1\\2}) [/mm] auf. und mach dann eine nette Basistransformation.
Gruß v. Angela
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Hi,
ja stimmt. Jetzt krieg ich aber schon wieder Probleme. Wenn ich gleich mit Standardbasen im Ziel und Startraum mache dann klapps sofort.
Aber wenn ich das nach deinem Ansatz mache dann komm:
B [mm] :=(\vektor{0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2})
[/mm]
[mm] T(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] e_{1} [/mm] + [mm] 2e_{2}
[/mm]
[mm] T(\vektor{1 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] e_{1} [/mm] + [mm] 2e_{2} [/mm] dadurch kriege ich doch die Matrix [mm] _{E_{2}}M(f)_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }
[/mm]
Jetzt brauche ich die Wechselmatrix [mm] _{B}T_{E_{2}}
[/mm]
die kriege ich als Inverse von [mm] _{E_{2}}T_{B} [/mm] , die ja einfach [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm]
bei der Inversenberechnung kommt:
[mm] \pmat{ 1 & 1&|&1&0\\1& 2 &|&0&1} [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0&|&-2&1\\0& 1 &|&1&0} [/mm]
Jetzt müsste doch
[mm] _{E_{2}}M(f)_{B} [/mm] * [mm] _{B}T_{E_{2}} =_{E_{2}}M(f)_{E_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0.5 \\ 2 & 1} [/mm] das kommt aber bei mir nicht hin??
Snafu
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> Hi,
> ja stimmt. Jetzt krieg ich aber schon wieder Probleme.
> Wenn ich gleich mit Standardbasen im Ziel und Startraum
> mache dann klapps sofort.
> Aber wenn ich das nach deinem Ansatz mache dann komm:
> B [mm]:=(\vektor{0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 2})[/mm]
> [mm]T(\vektor{0 \\ 1})[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]e_{1}[/mm] + [mm]2e_{2}[/mm]
Hallo,
bei meinem Ansatz ist aber nicht [mm] T(\vektor{0 \\ 1})=[/mm] [mm][mm] \vektor{1 \\ 2}...
[/mm]
Gruß v. Angela
> [mm]T(\vektor{1 \\ 2})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]e_{1}[/mm] + [mm]2e_{2}[/mm]
> dadurch kriege ich doch die Matrix [mm]_{E_{2}}M(f)_{B}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> Jetzt brauche ich die Wechselmatrix [mm]_{B}T_{E_{2}}[/mm]
> die kriege ich als Inverse von [mm]_{E_{2}}T_{B}[/mm] , die ja
> einfach [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
> bei der Inversenberechnung kommt:
> [mm]\pmat{ 1 & 1&|&1&0\\1& 2 &|&0&1}[/mm] -> [mm]\pmat{ 1 & 0&|&-2&1\\0& 1 &|&1&0}[/mm]
> Jetzt müsste doch
> [mm]_{E_{2}}M(f)_{B}[/mm] * [mm]_{B}T_{E_{2}} =_{E_{2}}M(f)_{E_{2}}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 0.5 \\ 2 & 1}[/mm] das kommt aber bei mir nicht
> hin??
>
> Snafu
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Hi,
ach weil wir jetzt nicht die Standardbasis haben im Startraum. Müssen die Bilder der Basisverktoren auch entsprechend anders sein,oder? Muss man die Bilder der Startbasisvektoren bzgl. der dieser Basis darstellen und sie dann mit einer Linearkombi. der Zielbasisvektoren aufbauen. Wobei dann die Koeffizienten diser Linearkombi, die Spalten der Darstellunsgmatrix entsprechen. Ich muss ehrlich zugeben, ich habe Probleme zu begreifen was die Basis wirlich ausmacht, bzw. eine Änderung bewirkt. Ich weiß dass ihre Vektoren den Raum aufspannen, deswegen muss man alle Vektoren im Raum mit den Basisvektoren darstellen. Heißt das nun bei dieser Aufgabe das T( [mm] \vektor{0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] , weil ja eigentlich [mm] \vektor{1 \\ 2 } [/mm] rauskommt, bzgl der Basis B aber mit [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] dargestellt wird?
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> Hi,
> ach weil wir jetzt nicht die Standardbasis haben im
> Startraum.
Hallo,
zitiere doch das, auf das Du Dich beziehst, sonst gibt's ein Rätselraten.
Dein Fehler hat nichts mit irgendwelchen Basen zu tun, sondern damit, daß der Vektor [mm] \vektor{0\\1} [/mm] auf den Nullvektor abgebildet wird, und dies bei Dir anders steht.
> Müssen die Bilder der Basisverktoren auch
> entsprechend anders sein,oder?
Nein, Du kannst doch, wenn Du magst, [mm] _{E_2}M(T)_B [/mm] aufstellen - aber richtig!
> Muss man die Bilder der
> Startbasisvektoren bzgl. der dieser Basis darstellen und
> sie dann mit einer Linearkombi. der Zielbasisvektoren
> aufbauen.
Du kannst natürlich auch das Bild bzgl. B angeben, wenn du magst, dann mußt Du am Ende allerdings zwei Matrizen dranmultiplizieren, vorne und hinten.
> Wobei dann die Koeffizienten diser Linearkombi,
> die Spalten der Darstellunsgmatrix entsprechen. Ich muss
> ehrlich zugeben, ich habe Probleme zu begreifen was die
> Basis wirlich ausmacht, bzw. eine Änderung bewirkt. Ich
> weiß dass ihre Vektoren den Raum aufspannen, deswegen muss
> man alle Vektoren im Raum mit den Basisvektoren darstellen.
> Heißt das nun bei dieser Aufgabe das T( [mm]\vektor{0 \\ 1})[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] ,
ömm- hatten wir nicht besprochen, daß der auf den Nullvektor abgebildet wird? (Hab' ich's womöglich irgendwo falsch geschrieben?) Wenn ich einen Besenstil genau parallel zur Projektionsrichtung halte, sieht man doch auf der Leinwand keinen Strich.
> weil ja eigentlich [mm]\vektor{1 \\ 2 }[/mm]
> rauskommt, bzgl der Basis B aber mit [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> dargestellt wird?
So, jetzt beginnt sich bei mir alles zu drehen...
Es ist doch
[mm] T(\vektor{1\\2})=\vektor{1\\2}
[/mm]
[mm] T(\vektor{0\\1})=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Wenn ich nun für [mm] B:=(\vektor{1\\2}, \vektor{0\\1}) [/mm] die Abbildungsmatrix [mm] _{E_2}M(T)_B [/mm] aufstelle, dann ist das diese: [mm] _{E_2}M(T)_B=\pmat{1&0\\2&0},
[/mm]
und [mm] _BM(T)_B=\pmat{1&0\\0&0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 So 31.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ja mist... habs voll verpeilt was die Abb. überhaupt machen soll. Ja dann ist es klar.
Tut mir echt leid^^.. war echt bisschen blöd.
Snafu
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