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Projektion & Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Fr 09.05.2014
Autor: Petrit

Aufgabe
(a) Zeigen Sie, dass durch die Projektionen [mm] p_{1}: (x,y)\mapsto [/mm] x und [mm] p_{2}: (x,y)\mapsto [/mm] y stetige Funktionen [mm] {\IR}^{2} \to \IR [/mm] gegeben sind.

(b) Folgern Sie, dass auch die Funktionen f: [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x*y, g: [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y, sowie h: [mm] (x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1 [/mm] stetige Funktionen von [mm] {\IR}^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sind.

Hi!

Ich hab ein kleines Problemchen mit dieser Aufgabe. Und zwar weiß ich überhaupt nicht, wie ich dies zeigen könnte. Ich glaube allerdings, wenn ich wüsste, wie man Teil a lösen könnte, müsste ich doch dann auch Teil b zeigen können. Allerdings habe ich überhaupt keinen Plan, wie ich ansetzen könnte. Ich hoffe, ihr könnt mir diesbezüglich ein paar Tipp/Hinweise bzw. einen Ansatz geben, wie ich das zeigen kann.
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

Viele Grüße, Petrit!

        
Bezug
Projektion & Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Fr 09.05.2014
Autor: fred97

Zu [mm] p_1: [/mm]

1. Möglichkeit [mm] (||*||_2 [/mm] bez. die Euklidische Norm auf [mm] \IR^2): [/mm] Seien $(x,y), (u,v) [mm] \in \IR^2$. [/mm] Dann gilt:

[mm] $|p_1(x,y)-p_1(u,v)|=|x-u|= \wurzel{(x-u)^2} \le \wurzel{(x-u)^2+(y-v)^2}=||(x,y)-(u,v)||_2$ [/mm]

Das zeigt, dass [mm] p_1 [/mm] sogar Lipschitzstetig ist.

2. Möglichkeit (damit bekommt man nur die Stetigkeit):

Sei [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] und [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine Folge in [mm] \IR^2, [/mm] die gegen [mm] (x_0,y_0) [/mm] konvergiert. Dann haben wir [mm] x_n \to x_0 [/mm] (für $n [mm] \to \infty$). [/mm] Folglich:

    [mm] p_1(x_n,y_n)=x_n \to x_0=p_1(x_0,y_0). [/mm]

[mm] p_1 [/mm] ist daher in [mm] (x_0,y_0) [/mm] stetig.  Da [mm] (x_0,y_0) [/mm] beliebig war, ist [mm] p_1 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig.

FRED

Bezug
                
Bezug
Projektion & Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Fr 09.05.2014
Autor: Petrit

Super, danke.
Ich glaub, ich hab's verstanden.
Dann müsste dasselbe ja uch für [mm] p_{2} [/mm] gelten?
Den Rest versuche ich mal!

Gruß Petrit!

Bezug
        
Bezug
Projektion & Stetigkeit: Teil b-3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 12.05.2014
Autor: Dielektrod22

$ [mm] (x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1 [/mm] $

Durch welche Kombination von p1 und p2 soll man h erhalten?

Auf den ersten Blick hielt ich es für eine binomische Formel, aber irgendwie passt da nichts wirklich wegen dem 3 Mal x hoch 3 am Anfang.

Das würde mich jetzt schon interessieren wie das funktionieren soll :)

Bezug
                
Bezug
Projektion & Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:54 Di 13.05.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> [mm](x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1[/mm]
>  
> Durch welche Kombination von p1 und p2 soll man h
> erhalten?
>  
> Auf den ersten Blick hielt ich es für eine binomische
> Formel, aber irgendwie passt da nichts wirklich wegen dem 3
> Mal x hoch 3 am Anfang.

Es ist doch [mm] x^3=x*x*x, [/mm] also [mm] (x,y)\mapsto{p_1(x,y)*p_1(x,y)*p_1(x,y)} [/mm]

>  
> Das würde mich jetzt schon interessieren wie das
> funktionieren soll :)


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