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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 20.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler [mm] \IK- [/mm] vektorraum und [mm] \pi:V->V [/mm] ein Projektor (d.h. Projektion auf [mm] img(\pi) [/mm] längs [mm] ker(\pi)), [/mm] Sei [mm] b_1,..,b_k [/mm] eine Basis von [mm] img(\pi) [/mm] und [mm] b_{k+1},..,b_{n} [/mm] eine Basis von [mm] ker(\pi)
[/mm]
Berechne die Matrix [mm] [\pi]_{BB} [/mm] |
B:= [mm] b_1,...,b_n [/mm] ist Basis von V da V= [mm] img(\pi) \oplus ker(\pi)
[/mm]
[mm] \pi(img(\pi))=img(\pi)
[/mm]
[mm] \pi(ker(\pi))=0
[/mm]
Unsere Definition:
$ [mm] [\phi]_{CB} [/mm] $ x := $ [mm] ({\Phi^{-1}}_C \circ \phi \circ \Phi_B) [/mm] $ (x)
mit [mm] {\Phi^{-1}}_C: [/mm] W -> [mm] \IK^m [/mm] und [mm] \Phi_B: \IK^n [/mm] -> V und [mm] \phi:V->W
[/mm]
[mm] [\pi]_{BB} [/mm] x = [mm] ({\Phi^{-1}}_B \circ \pi \circ \Phi_B) [/mm] (x) : [mm] \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m
[/mm]
ich muss es jetzt auf [mm] b_i [/mm] auswerten i [mm] \in \{1,..,n}
[/mm]
[mm] ({\Phi^{-1}}_B \circ \pi \circ \Phi_B) (b_1) [/mm] = [mm] ({\Phi^{-1}}_B (\pi(\Phi_B( b_1)))
[/mm]
Aber wie mache ich das ?
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> Sei V ein n-dimensionaler [mm]\IK-[/mm] vektorraum und [mm]\pi:V->V[/mm] ein
> Projektor (d.h. Projektion auf [mm]img(\pi)[/mm] längs [mm]ker(\pi)),[/mm]
> Sei [mm]b_1,..,b_k[/mm] eine Basis von [mm]img(\pi)[/mm] und [mm]b_{k+1},..,b_{n}[/mm]
> eine Basis von [mm]ker(\pi)[/mm]
> Berechne die Matrix [mm][\pi]_{BB}[/mm]
>
> B:= [mm]b_1,...,b_n[/mm] ist Basis von V da V= [mm]img(\pi) \oplus ker(\pi)[/mm]
>
> [mm]\pi(img(\pi))=img(\pi)[/mm]
> [mm]\pi(ker(\pi))=0[/mm]
Hallo,
nicht nur ist [mm] $\pi(img(\pi))=img(\pi)$, [/mm] sondern vor allem gilt auch [mm] \pi(v)=v [/mm] für alle [mm] v\in img(\pi).
[/mm]
Zum Aufstellen der Matrix lassen wir das Gedöns von unten mal weg.
Ich sag' Dir lieber das Kochrezept - habe ich Dich wirklich noch nie aufgefordert, das entsprechende Sprüchlein zu lernen?
Sprüchlein - auswendiglernen und nie wieder vergessen:
In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] $[\phi]_{CB}$ [/mm] von [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen B im Start- und C im Zielraum sthen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. C.
Wenn Du dies auf die Dir vorliegenden Aufgabe überträgst, sollte klar sein, was zu tun ist.
LG Angela
>
> Unsere Definition:
> [mm][\phi]_{CB}[/mm] x := [mm]({\Phi^{-1}}_C \circ \phi \circ \Phi_B)[/mm]
> (x)
> mit [mm]{\Phi^{-1}}_C:[/mm] W -> [mm]\IK^m[/mm] und [mm]\Phi_B: \IK^n[/mm] -> V und
> [mm]\phi:V->W[/mm]
>
> [mm][\pi]_{BB}[/mm] x = [mm]({\Phi^{-1}}_B \circ \pi \circ \Phi_B)[/mm] (x) :
> [mm]\IK^n[/mm] -> [mm]\IK^m[/mm]
>
> ich muss es jetzt auf [mm]b_i[/mm] auswerten i [mm]\in \{1,..,n}[/mm]
>
> [mm]({\Phi^{-1}}_B \circ \pi \circ \Phi_B) (b_1)[/mm] =
> [mm]({\Phi^{-1}}_B (\pi(\Phi_B( b_1)))[/mm]
> Aber wie mache ich das
> ?
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