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Produkttopologie: Eine kleine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Di 15.05.2012
Autor: kullinarisch

Aufgabe
Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm] M\subset [/mm] X, [mm] N\subset [/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm] M\times [/mm] N.

- N° Die Menger der inneren Punkte von N
- [mm] \partial [/mm] M die Menge der Randpunkte von M

Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den es jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.

Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie betrachte:

[mm] (\partial M\times [/mm] N°) wie kann man sich diese Menge vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie müsste doch leer sein?

Nur wenn ich N° durch [mm] \overline{N} [/mm] ersetzen würde (also Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das richtig?

Mfg, kulli

        
Bezug
Produkttopologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Di 15.05.2012
Autor: fred97


> Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.

Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X x Y ?

>  
> - N° Die Menger der inneren Punkte von N
>  - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
>  Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den es
> jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
>
> Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> betrachte:
>  
> [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> müsste doch leer sein?

Wieso denn ?

Nimm [mm] X=Y=\IR, [/mm]  M=[0,1] und N=[-1,1]

Dann gilt z.B. (0,0) [mm] \in \partial M\times N^o [/mm]

Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm] \partial M\times N^o [/mm]

FRED

>  
> Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> richtig?
>  
> Mfg, kulli


Bezug
                
Bezug
Produkttopologie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Di 15.05.2012
Autor: kullinarisch


> > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
>  
> Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> x Y ?

ja genau, Buchstaben vertauscht

> > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
>  >  - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
>  >  Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den
> es
> > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> >
> > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > betrachte:
>  >  
> > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > müsste doch leer sein?
>  
> Wieso denn ?
>  
> Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm]  M=[0,1] und N=[-1,1]
>  
> Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
>  
> Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]

Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]

Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt (1, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] in [mm] \partial M\times \overline{N}=[/mm] [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm])  weil:

[mm] 1\in[/mm]  [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],  

[mm] \bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]} [/mm]

aber  [mm] \bruch{1}{2}\notin[/mm]  [mm]\partial M[/mm] und [mm] \bruch{1}{2}\notin[/mm]  [mm]\partial N[/mm]


Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm] =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]? Ohje Topologie ist nicht mein Fall...

Mfg, kulli


> FRED
>  >  
> > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > richtig?
>  >  
> > Mfg, kulli
>  


Bezug
                        
Bezug
Produkttopologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Di 15.05.2012
Autor: fred97


> > > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
>  >  
> > Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> > x Y ?
>  
> ja genau, Buchstaben vertauscht
>  
> > > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
>  >  >  - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
>  >  >  Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um
> den
> > es
> > > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> > >
> > > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > > betrachte:
>  >  >  
> > > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > > müsste doch leer sein?
>  >  
> > Wieso denn ?
>  >  
> > Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm]  M=[0,1] und N=[-1,1]
>  >  
> > Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
>  >  
> > Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]
>  
> Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht
> worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]
>
> Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt
> (1, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] in [mm]\partial M\times \overline{N}=[/mm]
> [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in
> [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm])  weil:
>
> [mm]1\in[/mm]  [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],  
>
> [mm]\bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]}[/mm]
>
> aber  [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]  [mm]\partial M[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]
>  [mm]\partial N[/mm]
>  
>
> Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm]
> =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]?


Natürlich gilt das nicht !!!

Nimm doch mal M=N=[0,1]

FRED



Ohje Topologie ist nicht mein

> Fall...
>  
> Mfg, kulli
>  
>
> > FRED
>  >  >  
> > > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > > richtig?
>  >  >  
> > > Mfg, kulli
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Produkttopologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Di 15.05.2012
Autor: kullinarisch


> > > > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > > > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
>  >  >  
> > > Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> > > x Y ?
>  >  
> > ja genau, Buchstaben vertauscht
>  >  
> > > > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
>  >  >  >  - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
>  >  >  >  Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um
> > den
> > > es
> > > > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> > > >
> > > > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > > > betrachte:
>  >  >  >  
> > > > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > > > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > > > müsste doch leer sein?
>  >  >  
> > > Wieso denn ?
>  >  >  
> > > Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm]  M=[0,1] und N=[-1,1]
>  >  >  
> > > Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
>  >  >  
> > > Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]
>  
> >  

> > Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht
> > worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]
> >
> > Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt
> > (1, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] in [mm]\partial M\times \overline{N}=[/mm]
> > [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in
> > [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm])  weil:
> >
> > [mm]1\in[/mm]  [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],  
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]}[/mm]
> >
> > aber  [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]  [mm]\partial M[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]
> >  [mm]\partial N[/mm]

>  >  
> >
> > Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm]
> > =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]?
>
>
> Natürlich gilt das nicht !!!
>  
> Nimm doch mal M=N=[0,1]

Ah ok, ich sehs ein ;-)

> FRED
>  
>
>
> Ohje Topologie ist nicht mein
> > Fall...
>  >  
> > Mfg, kulli
>  >  
> >
> > > FRED
>  >  >  >  
> > > > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > > > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > > > richtig?
>  >  >  >  
> > > > Mfg, kulli
> > >  

> >  

>  


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