Produktmaß Kreisfläche < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne [mm] \lambda_{2} [/mm] ({(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2}+y^{2} \le r^{2} [/mm] }) |
Hallo, hierbei handelt es sich ja um den Kreis um (0,0) mit dem Radius r.
Es müsste ja also [mm] \pi r^{2} [/mm] herauskommen.
Als Hinweis haben wir gegeben, [mm] \lambda_{2} [/mm] als Produktmaß zu betrachten.
Den Nullmengenkram lasse ich erstmal weg, nur um zu verstehen wie das läuft.
Mit A(x) bezeichne ich die x-Schnitte der Menge A
Das Produktmaß ist definiert als [mm] \mu(A)=\integral s_{1} d\mu_1 [/mm] mit [mm] s_{1}(x)=\mu_{2}(A(x)) [/mm] für alle [mm] x\in \Omega_{1}. [/mm] (Hier ist A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{A}_{1}\otimes\mathcal{A}_{2} [/mm] und [mm] \mu_{1 bzw 2} [/mm] ist Maß auf [mm] \mathcal{A}_{1 bzw 2})
[/mm]
Ich setze mal A:= [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} : x^{2}+y^{2} \le r^{2} \}
[/mm]
Dann gilt A(x) = [mm] \{y\in \IR : (x,y) \in A \}
[/mm]
und damit [mm] \lambda_{1} [/mm] (A(x)) = [mm] \wurzel(r^{2}-x^{2}) [/mm] + [mm] \wurzel(r^{2}-x^{2}) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [-r,r]
Jetzt definiere ich eine Funktion s: [mm] \IR \to \IR [/mm] ; [mm] x\mapsto \begin{cases} \lambda_{1} (A(x)) , & \mbox{für } x \in [-r,r] \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Nach unserer Definition muss ich nun "nur" noch [mm] \integral [/mm] s [mm] d\lambda_{1} [/mm] berechnen.
Die Funktion eingeschränkt auf [-r,r] ist ja Riemann-Integrierbar.
Wolfram Alpha gibt mir auch [mm] \pi r^{2} [/mm] heraus.
Aber die Stammfunktion zu finden ist doch recht aufwendig.
Gibt es noch einen einfacheren Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Sa 18.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\lambda_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
({(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]x^{2}+y^{2} \le r^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> })
> Hallo, hierbei handelt es sich ja um den Kreis um (0,0)
> mit dem Radius r.
> Es müsste ja also [mm]\pi r^{2}[/mm] herauskommen.
> Als Hinweis haben wir gegeben, [mm]\lambda_{2}[/mm] als Produktmaß
> zu betrachten.
> Den Nullmengenkram lasse ich erstmal weg, nur um zu
> verstehen wie das läuft.
>
> Mit A(x) bezeichne ich die x-Schnitte der Menge A
>
> Das Produktmaß ist definiert als [mm]\mu(A)=\integral s_{1} d\mu_1[/mm]
> mit [mm]s_{1}(x)=\mu_{2}(A(x))[/mm] für alle [mm]x\in \Omega_{1}.[/mm]
Da sollte [mm] \mu_{1}(A(x)) [/mm] stehen
> (Hier
> ist A [mm]\in \mathcal{A}[/mm] =
> [mm]\mathcal{A}_{1}\otimes\mathcal{A}_{2}[/mm] und [mm]\mu_{1 bzw 2}[/mm] ist
> Maß auf [mm]\mathcal{A}_{1 bzw 2})[/mm]
>
>
> Ich setze mal A:= [mm]\{(x,y) \in \IR^{2} : x^{2}+y^{2} \le r^{2} \}[/mm]
>
>
> Dann gilt A(x) = [mm]\{y\in \IR : (x,y) \in A \}[/mm]
>
> und damit [mm]\lambda_{1}[/mm] (A(x)) = [mm]\wurzel(r^{2}-x^{2})[/mm] +
> [mm]\wurzel(r^{2}-x^{2})[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [-r,r]
Richtig.
>
>
> Jetzt definiere ich eine Funktion s: [mm]\IR \to \IR[/mm] ; [mm]x\mapsto \begin{cases} \lambda_{1} (A(x)) , & \mbox{für } x \in [-r,r] \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
>
> Nach unserer Definition muss ich nun "nur" noch [mm]\integral[/mm] s
> [mm]d\lambda_{1}[/mm] berechnen.
>
> Die Funktion eingeschränkt auf [-r,r] ist ja
> Riemann-Integrierbar.
> Wolfram Alpha gibt mir auch [mm]\pi r^{2}[/mm] heraus.
>
> Aber die Stammfunktion zu finden ist doch recht aufwendig.
Das stimmt aber nicht ! Das ist machbar.
FRED
> Gibt es noch einen einfacheren Weg?
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Alles klar, danke.
Aber zur Definition des Produktmaßes. Ich habe nochmal im Script geschaut, da habe ich das genauso geschrieben. Allerdings wird es bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki zum Beispiel anders gemacht (so wie du sagtest). Wobei man hier das Maß über eine Teilmenge nehmen soll, auf der das Maß gar nicht definiert wurde oder? ( [mm] \mu_{1}(\IX_{2}) [/mm] )
Aber hier (bei 10.1.10) wird es wiederum so gemacht wie ich es geschrieben habe
Ich werde mal meinen HiWi fragen....
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