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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 10.02.2009 | | Autor: | LK2010 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{(2*x-7)^{8} dx} [/mm] |
Hey, wie man im Grunde Integrale mit der Produktintegration bzw. Substitution ausrechnet, weiß ich. Aber hier komme ich leider nicht weiter.. ich habe schon versucht auf einige Wegen versucht :
(1) Produktintegration :
[mm] u(x)=(2*x-7)^{8} [/mm] u'(x)=16*(2*x - [mm] 7)^7
[/mm]
v'(x)=1 v(x)=x
leider bekomme ich dann wieder ein Integral, auf der ich die Produktintegration anwenden müsste, dass dann ca. auch gleich 7 oder 8 mal... =/.. .
gibt es da nicht noch ein kürzeren Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{0}^{1}{(2*x-7)^{8} dx}[/mm]
> Hey, wie man im Grunde
> Integrale mit der Produktintegration bzw. Substitution
> ausrechnet, weiß ich. Aber hier komme ich leider nicht
> weiter.. ich habe schon versucht auf einige Wegen versucht
> :
>
> (1) Produktintegration :
> [mm]u(x)=(2*x-7)^{8}[/mm] u'(x)=16*(2*x - [mm]7)^7[/mm]
> v'(x)=1 v(x)=x
Das (hoch 8) ist zu viel des Guten.
Substituiere einfach 2x-7=u.
Gruß Abakus
>
> leider bekomme ich dann wieder ein Integral, auf der ich
> die Produktintegration anwenden müsste, dass dann ca. auch
> gleich 7 oder 8 mal... =/.. .
> gibt es da nicht noch ein kürzeren Weg?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 10.02.2009 | | Autor: | LK2010 |
Tut mir leid, aber i-wie versteh ich das immer noch nicht ganz.
wieso denn jetzt auf einmal nur u(x)=2*x-7 wo bleibt denn da die (hoch 8) und mach ich das nu überhaupt den mit der Produktintegration?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LK2010!
Nein, Du brauchst hier keine Produktintegration (bzw. "partielle Integration").
Es geht hier mit der genannten Substitution $u \ := \ 2x-7$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 10.02.2009 | | Autor: | LK2010 |
Ich steh zimmlich auf nen Schlauch.. ich hab keine ahnung, wie ich das denn nu so machen muss.
Also wenn u(x)=2*x-7 dann is u'(x)=2
aber was bitte ist den v(x)=? [mm] v(x)=x^{8} [/mm] ?! ich versteh nu nix mehr... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich steh zimmlich auf nen Schlauch.. ich hab keine ahnung,
> wie ich das denn nu so machen muss.
> Also wenn u(x)=2*x-7 dann is u'(x)=2
> aber was bitte ist den v(x)=? [mm]v(x)=x^{8}[/mm] ?! ich versteh nu
> nix mehr... :(
Was willst du mit v? Das kommt hier gar nicht vor.
Du sollst an Stelle von [mm] (2x-7)^8 [/mm] jetzt nur noch [mm] u^8 [/mm] integrieren. Dabei muss allerdings noch dx durch das entsprechend richtige du ersetzt werden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 10.02.2009 | | Autor: | LK2010 |
Es tut mir sehr leid.. aber ich versteh es nich =( :'(... wieso denn jetzt aufeinmal [mm] u^{8}.. [/mm] ?! .. kann mir vielleicht jemand den Anfang der genauen Rechnung hinschreiben, weil ich steig da nicht mehr durch...
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Hallo,
was weisst du denn über das Lösen von Integralen mit Substitutionen? Wie habt ihr das in der Schule gemacht?
Du hast ein Integral:
[mm] \integral_{}^{}{(4x+8)^{2}dx} [/mm] Dieses Integral kannst du so lösen:
Ich wende die Binomische Formel an: [mm] \integral_{}^{}{16x²+64x+64 dx}=\bruch{16}{3}x^{3}+32x²+64x+c
[/mm]
ODER ich substituiere. Genau das sollst du in deiner Aufgabe machen.
[mm] \integral_{}^{}{(\green{4x+8})^{2}\red{dx}}
[/mm]
Sei [mm] \\z=\green{4x+8} [/mm] Das leite ich nach [mm] \\x [/mm] ab. Also [mm] \bruch{dz}{dx}=4. [/mm] Jetzt stelle ich das nach [mm] \\dx [/mm] um. [mm] \red{dx}=\bruch{dz}{4}
[/mm]
Erstetze also das [mm] \\dx.
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(\green{z})^{2}\bruch{dz}{4}}=\bruch{1}{4}\integral_{}^{}{(\green{z})^{2}dz}=\bruch{1}{4}\cdot\bruch{1}{3}\cdot\\z^{3}=\bruch{1}{12}\cdot(4x+3)^{3}+c=\bruch{16}{3}x^{3}+32x^{2}+64+c
[/mm]
Wie du siehst ist die Variante mit der Substitution schneller als wenn du alles ausmultiplizierst. Und bedenke dabei dass du eine Aufgabe mit [mm] \\(...+...)^{\red{8}} [/mm] hast. Das ausmultiplizieren wäre nich klug da man sich leicht verrechnen kann.
Wende dies jetzt auf deine Aufgabe an.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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