Produktint. u. Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Kristof |
Hallo,
ich habe ein riesen Problem.
Schreibe nächsten Donnerstag die Mathe LK Klausur.
Da unsere Lehrerin nicht genügend Stoff zur Stochastik geschafft hat, hat sie sich überlegt auch auf das vorherige Thema der Integralrechnung einzugehen.
Den Anfang habe ich da noch ganz gut mitbekommen, nur dann bin ich längere Zeit krank gewesen. :-(
Nun hat sie etwas von Produktintegration und Integration durch Substitution gesagt, dass es in der Klausur vorkommt.
Im Buch blicke ich übehaupt nicht durch, kapiere es überhaupt nicht.
Drum wollte ich euch fragen, ob ihr mir beides anhand einer Beispielaufgabe erklären könntet.
Verstehe da wirklich nichts, habe schon Mitschüler gebeten mir zu helfen, haben aber auch keine Zeit da sie am Dienstag noch eine andere LK Klausur schreiben.
Ihr seit also last Chance.
Wäre super wenn ihr mir helft.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Rambo52 |
Also ich versuche dir so gut wie möglich zu helfen.
Die partielle Integration oder auch Produktintegration genannt verwendest du immer dann, wenn ein * in der Funktion vorkommt:
[mm] A=\integral_{10}^{\bruch{e}{3}}{\bruch{6ln(3x)-6}{x} dx}
[/mm]
[mm] A=\integral_{10}^{\bruch{e}{3}}{\bruch{6ln(3x)}{x}-\bruch{6}{x} dx}
[/mm]
Nebenrechnung:
f(x) = [mm] \bruch{6ln(3x)}{x}
[/mm]
Diese Funktion kannst du in 2 Teile aufteilen nämlich:
f(x) = [mm] \bruch{6}{x} [/mm] * [mm] \bruch{ln(3x)}{x}
[/mm]
Somit hast du die Funktion geteilt und daraus ein Produkt gemacht.
Nun kannst du bestimmen und die Produktintegration durchführen:
[mm] \integral{\bruch{6}{x}*\bruch{ln(3x)}{x} dx}
[/mm]
Die Regel für die Produktintegration lautet:
[mm] \integral{u*v' dx} [/mm] = u * v - [mm] \integral{v * u' dx}
[/mm]
Also nennst du
[mm] \bruch{6}{x} [/mm] = v' und
[mm] \bruch{ln(3x)}{x} [/mm] = u , weil ln immer "u" ist.
Merke: [mm] e^x [/mm] ist immer u' !
Jetzt bestimmst du noch v und u':
v= 6ln|x|
u' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Einsetzen:
ln(3x) * 6ln|x| - [mm] \integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}
[/mm]
Weil du ja noch ein Integral hast, musst du noch einmal die Produktintegration machen, die bei ln immer so geht.
[mm] \integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx} [/mm] = 6ln|x| * ln|x| - [mm] \integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}
[/mm]
Jetzt bringt man das Integral auf die andere Seite.
2* [mm] \integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx} [/mm] = 6ln|x| * ln|x|
Jetzt teilst du noch durch 2:
[mm] \integral{\bruch{6}{x} = 3ln|x| * ln|x|}
[/mm]
Und jetzt setzt du das in die Ausgangsgleichung ein:
6 ln(3x) * ln|x| - 3ln|x| * ln|x|
==> [mm] \integral_{10}^{\bruch{e}{3}}{\bruch{6ln(3x)}{x} - \bruch{6}{x} dx}
[/mm]
Für die Substitution liegt mir gerade leider kein Beispiel vor, obwohl ich vor kurzem eins hatte.
Aber ich kann dir soviel sagen:
Die Substitution kommt nur dann, wenn das Integral die Form:
[mm] \integral{u(v(x)) * v'(x) dx }
[/mm]
hat.
Beispiel:
[mm] \integral{ln(x^2) * 2x dx}
[/mm]
Leider habe ich dazu keine Rechnung, aber man sieht, dass 2x die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] ist, somit ist [mm] x^2 [/mm] = z uns dann ist 2x z'.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:30 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Rambo,
ich hab deine Post nicht ganz bis zum Ende gelesen, aber kuck mal
> Also ich versuche dir so gut wie möglich zu helfen.
>
> Die partielle Integration oder auch Produktintegration
> genannt verwendest du immer dann, wenn ein * in der
> Funktion vorkommt:
>
> f(x) = [mm]\bruch{6ln(3x)}{x}[/mm]
>
> Diese Funktion kannst du in 2 Teile aufteilen nämlich:
>
> f(x) = [mm]\bruch{6}{x}[/mm] * [mm]\bruch{ln(3x)}{x}[/mm]
hier hat sich ein Fehler eingeschlichen.
>
> Somit hast du die Funktion geteilt und daraus ein Produkt
> gemacht.
>
> Nun kannst du bestimmen und die Produktintegration
> durchführen:
>
> [mm]\integral{\bruch{6}{x}*\bruch{ln(3x)}{x} dx}[/mm]
>
> Die Regel für die Produktintegration lautet:
> [mm]\integral{u*v' dx}[/mm] = u * v - [mm]\integral{v * u' dx}[/mm]
>
> Also nennst du
> [mm]\bruch{6}{x}[/mm] = v' und
> [mm]\bruch{ln(3x)}{x}[/mm] = u , weil ln immer "u" ist.
der sich auch noch fortsetzt, am besten kuckst du nochmal selbst nach.
>
> Merke: [mm]e^x[/mm] ist immer u' !
>
> Jetzt bestimmst du noch v und u':
>
> v= 6ln|x|
> u' = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> ln(3x) * 6ln|x| - [mm]\integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}[/mm]
>
> Weil du ja noch ein Integral hast, musst du noch einmal die
> Produktintegration machen, die bei ln immer so geht.
>
> [mm]\integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}[/mm] = 6ln|x| * ln|x| -
> [mm]\integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}[/mm]
>
> Jetzt bringt man das Integral auf die andere Seite.
>
> 2* [mm]\integral{\bruch{6}{x} * ln|x| dx}[/mm] = 6ln|x| * ln|x|
>
> Jetzt teilst du noch durch 2:
>
> [mm]\integral{\bruch{6}{x} = 3ln|x| * ln|x|}[/mm]
>
> Und jetzt setzt du das in die Ausgangsgleichung ein:
>
> 6 ln(3x) * ln|x| - 3ln|x| * ln|x|
>
>
> Für die Substitution liegt mir gerade leider kein Beispiel
> vor, obwohl ich vor kurzem eins hatte.
>
> Aber ich kann dir soviel sagen:
>
> Die Substitution kommt nur dann, wenn das Integral die
> Form:
>
> [mm]\integral{u(v(x)) * v'(x) dx }[/mm]
>
> hat.
>
> Beispiel:
>
> [mm]\integral{ln(x^2) * 2x dx}[/mm]
>
> Leider habe ich dazu keine Rechnung, aber man sieht, dass
> 2x die Ableitung von [mm]x^2[/mm] ist, somit ist [mm]x^2[/mm] = z uns dann
> ist 2x z'.
>
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Kristof,
kuck mal hier und hier, das hilft vielleicht schon mal. Eine Suche hier im Forum mit "Substitution" und "partielle Integration" liefert wahrscheinlich auch hunderte von Ergebnissen in denen du bestimmt etliche Beispiele findest. Solltest du noch konkretere Fragen haben (z:b. weil du bei einer bestimmten Aufgabe nicht weiterkommst) helfen wir dir natürlich auch. Ich stelle die Frage mal auf teilweise beantwortet, falls noch jemand ergänzen möchte.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 04.03.2007 | | Autor: | Kristof |
Habe mir hier bei der Substitutionsregel das mal angeguckt und versucht zu verstehen.
Aber ich habe noch ziemlich viele Fragen, weil ich teilweise nicht weiß, wieso manches so gemacht wird.
Hier haben wir ja das Integral, soweit klar, sieht ziemlich schwer aus dort die Stammfunktion zu entdecken.
$ [mm] \integral {\bruch{x^2}{\wurzel{x^3+2}} dx} [/mm] $
Substitution: $ t = [mm] x^3+2 \Rightarrow \bruch{dt}{dx} [/mm] = 3 [mm] x^2 \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{3x^2} [/mm] dt $
Hier kommen schon gleich die ersten Fragen auf.
Ist die Substitution immer der Nenner eines Bruchs oder wie muss ich mir das Vorstellen?
Wieso heißt es denn t = [mm] x^3 [/mm] +2 und nicht t = [mm] \wurzel{x^3+2} [/mm] ?
Und was hat es mit diesem [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] auf sich? Wo und Wieso kommt das dort auf einmal vor?
Einsetzen: $ [mm] \integral {\bruch{x^2 \cdot{} 1}{\wurzel {t}\cdot{} 3x^2} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \integral {\bruch{1}{\wurzel {t}}dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\cdot{} [/mm] 2 [mm] \cdot{} \wurzel{t} [/mm] + C $
Auch hier verstehe ich das nicht. Wieso steht im Nenner [mm] \wurzel{t} [/mm] * [mm] 3x^2?
[/mm]
Die Rechenschritte kann ich soweit nachvollziehen, dass ist soweit kein Problem.
Rückeinsetzen: $ = [mm] \bruch{2}{3} \wurzel{x^3 + 2} [/mm] + C $
Das verstehe ich dann auch.
Ist dann die Stammfunktion mit der ich das Integral ausrechnen kann oder?
Danke für eure Hilfe.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 04.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Hier kommen schon gleich die ersten Fragen auf.
> Ist die Substitution immer der Nenner eines Bruchs oder
> wie muss ich mir das Vorstellen?
Nein, wohl nicht "der Nenner", hier ja auch nicht, nur ein Teil "im" Nenner.Und ob es immer im Nenner ist, puh, ich würde mich ungern festlegen, ob das "immer" so ist oder ob man Ausnamen finden kann.
Bei verketteten Funktionen versucht man meist die "innere Funktion" zu ersetzen. Die Substitution wird ja von der Kettenregel (der Ableitung) hergeleitet. Das kann z.B. im Nenner, Zähler, Exponent oder im Argument anderer Funktionen (Z.B. [mm] \integral_{}^{}{x^2*\sin(x^3)dx} [/mm] geschehen.
Das führt aber (meist) nur zum Erfolg, wenn die Ableitung der substituierten Fkt. nochmal im (ursprünglichen) Integranden auftaucht. Dann kürzen die sich nämlich (hoffentlich) weg. Das ist der gewünschte Effekt.
> Wieso heißt es denn t = [mm]x^3[/mm] +2 und nicht t =
> [mm]\wurzel{x^3+2}[/mm] ?
Salopp gesagt, weil es mit [mm] t=\wurzel{x^3+2} [/mm] nichts bringt.
Die Ableitung von [mm] t=x^3+2 [/mm] dagegen taucht (bis auf einen konstanten Faktor) wieder im Integranden auf und kürzt sich dann weg.
> Und was hat es mit diesem [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] auf sich? Wo und
> Wieso kommt das dort auf einmal vor?
Ich drücke mich ziemlich unmathematisch aus, aber so ist es hoffentlich leichter verständlich (und auch leichter zu erklären).
Du musst nicht nur die Integrationsvariable ersetzen (x durch t), sondern auch das Differential "dx" durch "dt". Und das geht, indem du die Ableitung der subst. Fkt bildest. [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion [mm] t(x)(=x^3+2) [/mm] nach x. t'(x) wenn du so willst. Dann löst man nach "dx" auf.
>
>
> Einsetzen: [mm]\integral {\bruch{x^2 \cdot{} 1}{\wurzel {t}\cdot{} 3x^2} dt} = \bruch{1}{3} \integral {\bruch{1}{\wurzel {t}}dt} = \bruch{1}{3}\cdot{} 2 \cdot{} \wurzel{t} + C[/mm]
>
> Auch hier verstehe ich das nicht. Wieso steht im Nenner
> [mm]\wurzel{t}[/mm] * [mm]3x^2?[/mm]
Das kommt, vom ersetzen des dx. Es gilt doch [mm] dx=\bruch{1}{3x^2}dt
[/mm]
> Die Rechenschritte kann ich soweit nachvollziehen, dass
> ist soweit kein Problem.
>
>
> Rückeinsetzen: [mm]= \bruch{2}{3} \wurzel{x^3 + 2} + C[/mm]
>
> Das verstehe ich dann auch.
> Ist dann die Stammfunktion mit der ich das Integral
> ausrechnen kann oder?
Ja. Du kannst auch die Probe machen, indem du es ableitest. Es muss dann dein Integrand rauskommen.
>
> Danke für eure Hilfe.
> MfG
> Kristof
LG walde
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