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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 17.01.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Seien [mm] \mathit{G_1} [/mm] und [mm] \mathit{G_2} [/mm] Gruppen. Wir definieren eine Verknüpfung auf dem cartesischen Produkt [mm] \mathit{G_1 \times G_2}, [/mm] indem wir komponentenweise multiplizieren.
Zeigen Sie, dass die beiden Projektionen [mm] \mathit{\pi_i: G_1 \times G_2 \to G_i, i \in \{1,2\}} [/mm] Gruppenhomomorphismen sind. Was sind die Kerne und Bilder der [mm] \mathit{\pi_i}? [/mm] |
Hallo,
kenne zwar Definition von Gruppenhomomorphismus, kann aber damit gar nichts anfangen.Wäre dankbar für ein Paar Tipps.
mfG
Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo gosch!
Ich mache es dir mal für [mm] $\pi_1$ [/mm] vor:
Es gilt:
[mm] $\pi_1((g_1,g_2)(h_1,h_2))$
[/mm]
$= [mm] \pi_1((g_1h_1,g_2h_2))$
[/mm]
$= [mm] g_1h_1$
[/mm]
$= [mm] \pi_1(g_1,g_2) \pi_1(h_1,h_2)$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $Kern(\pi_1) [/mm] = [mm] \{(g_1,g_2) \in G_1 \times G_2\, : \, g_1=0\} [/mm] = [mm] \{0\} \times G_2$
[/mm]
und
[mm] $Bild(\pi_1) [/mm] = [mm] G_1$,
[/mm]
denn für alle [mm] $g_1 \in G_1$ [/mm] ist [mm] $\pi_1(g_1,e_2)=g_1$, [/mm] wobei [mm] $e_2$ [/mm] das neutrale Element in [mm] $G_2$ [/mm] ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 18.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Julius,
danke für deine Antwort, selbst wäre ich nicht darauf gekommen.
Vielen Dank
Gosch
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