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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
(a) [mm] \bruch{d^n}{dx^n}\left[x^3*ln(x)\right]=(-1)^n*(n-4)!*x^{-n+3} [/mm] für n>3
(b) [mm] \bruch{d^n}{dx^n}\left[(1+x^2)*exp(x)\right]=1+n*(n-1) [/mm] für x=0 |
Hi,
ich verzweifle mal wieder ein wenig an der Algebra, die hier von Nöten ist. Also hier a)
[mm] \bruch{d^n}{dx^n}\left[ln(x)\right]=\bruch{(-1)^{n+1}*(n-1)!}{x^n} [/mm] (herausgefunden durch mehrmaliges Ableiten).
Nun Leibniz-Formel:
[mm] \bruch{d^n}{dx^n}\left[x^3*ln(x)\right]=x^3*\bruch{(-1)^{n+1}*(n-1)!}{x^n}+3*n*x^2*\bruch{(-1)^{n}*(n-2)!}{x^{n-1}}+3*n*(n-1)*x*\bruch{(-1)^{n-1}*(n-3)!}{x^{n-2}}+n*(n-1)*(n-2)*\bruch{(-1)^{n-2}*(n-4)!}{x^{n-3}}
[/mm]
So der letzte Term ist ja das gewünschte Ergebnis, also klammere ich den aus. Hierbei sieht man sofort, dass [mm] (-1)^{n-2}=(-1)^n [/mm] da [mm] \bruch{(-1)^n}{1^2}=(-1)^n [/mm] , also:
[mm] \bruch{(-1)^{n-2}*(n-4)!}{x^{n-3}}*\left[(-1)*(n-1)*(n-2)*(n-3)+3*n*(n-2)*(n-3)-3*n*(n-1)*(n-3)+n*(n-1)*(n-2)\right]
[/mm]
Mist und jetzt gerade sehe ich, dass es das richtige Ergebnis gibt... Ich wills jetzt aber nicht alles wieder löschen, was ich hier getippt habe, also poste ichs als Anschauungsmaterial :D
Lg
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