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| Aufgabe | X und Y seien zwei voneinander unabhängige Zufallsgrößen mit den Dichtefunktionen
[mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y. [/mm] Nun betrachtet man das Produkt Z=X*Y dieser Zufallsgrößen.
Für die Dichte der Verteilung von Z gilt dann die Formel
[mm] f_Z(z)=f_{X*Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}f_{X}(t)*f_{Y}(\bruch{z}{t})*\bruch{1}{|t|}\ [/mm] dt
In der ![[]](/images/popup.gif) Quelle wird ein Beweis für den entsprechenden Satz für die Summe X+Y zweier unabhängiger Zufallsgrößen angegeben. Der (schwierigere) Beweis für das Produkt wird aber grosszügig dem geneigten Leser überlassen.
Frage: wie führt man diesen Beweis ?
(Für Spezialisten: Es wird vorausgesetzt, dass die Verteilungen von X und Y absolut stetig sind.)
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(diese Frage wurde durch die frühere Diskussion mit detlef angeregt)
Ich habe zuerst versucht, den Beweis analog zu dem in der oben genannten Quelle stehenden Beweis für die Summe zu führen; dies wurde dann aber bei den notwendigen Substitutionen und Vorzeichenunterscheidungen eher kompliziert.
Deshalb versuche ich hier einen anderen Weg zu gehen.
Durch die (eindimensionalen) Dichtefunktionen [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm] wird eine zweidimensionale Dichtefunktion
[mm] f_{(X,Y)}:\quad \IR^2\ \to\quad \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto f_X(x)*f_Y(y)
[/mm]
induziert. Insbesondere gilt
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)*dx*dy=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}f_X(x)*f_Y(y)*dx*dy=\integral_{-\infty}^{\infty}f_X(x)*dx\ *\integral_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)*dy=1*1=1
[/mm]
Für die gesuchte Dichtefunktion [mm] f_{Z} [/mm] muss gelten:
[mm] P(z\le x*y
Nun betrachten wir das Gebiet in der x-y-Ebene, welches der Ungleichungskette
[mm] z\le [/mm] x*y <z+dz entspricht.
Die Gleichungen x*y=z und x*y=z+dz beschreiben zwei dicht benachbarte (gleichseitige) Hyperbeln, welche
je aus zwei Ästen bestehen. Das Gebiet, über welches wir die Dichtefunktion [mm] f_{(X,Y)} [/mm] integrieren müssen, ist
der schmale Streifen S zwischen den Hyperbeln. Wir haben also die Gleichung:
[mm] P(z\le x*y
$dS$ ist hier das Flächenelement in der x-y-Ebene.
Nun muss man versuchen, das Differential dz ins Spiel zu bringen und z.B. dy aus dem Integranden zu
eliminieren.
[mm] dS=dx*|y(z+dz)-y(z)|=dx*\left|\bruch{z+dz}{x}-\bruch{z}{x}\right|=dx*\bruch{dz}{|x|} [/mm] (***)
Setzt man dies anstelle von $dS$ ein, ergibt sich:
[mm] f_{Z}(z)*dz=\integral_S f_X(x)*f_Y(y)*dx*\bruch{dz}{|x|}
[/mm]
Dabei ist natürlich immer noch [mm] y=y(x)=\bruch{z}{x}, [/mm] also:
[mm] f_{Z}(z)*dz=\integral_S f_X(x)*f_Y(\bruch{z}{x})*dx*\bruch{dz}{|x|}
[/mm]
Klammert man dz aus, so bleibt nur noch ein einfaches Integral über x:
[mm] f_{Z}(z)*dz=dz*\integral_{-\infty}^{\infty} f_X(x)*f_Y(\bruch{z}{x})*\bruch{1}{|x|}*dx
[/mm]
Division durch dz (das man hier als konstant betrachten kann) liefert:
[mm] f_{Z}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty} f_X(x)*f_Y(\bruch{z}{x})*\bruch{1}{|x|}*dx
[/mm]
Zu dieser vielleicht doch ein wenig saloppen Herleitung gibt es
Bemerkungen anzufügen:
1.) Wegen dem Faktor [mm] \bruch{1}{|x|} [/mm] im Integranden ist die
Integration über die Stelle null hinweg natürlich nicht ganz
unproblematisch. Um zu zeigen, dass dies in diesem Fall
trotzdem zu keinen weiteren Komplikationen führt, wären
tiefer gehende Betrachtungen ins Spiel zu bringen, und hier
wird wohl auch die Absolutstetigkeits-Voraussetzung ins
Spiel gebracht.
2.) Die Umformung (***) des Flächenelements
[mm] dS=dx*\bruch{dz}{|x|}
[/mm]
müsste im Rahmen einer genauen Analyse durch Grenz-
wertbetrachtungen gestützt werden. Im Prinzip lässt sich
aber die Formel anhand einer Skizze der Hyperbeln
[mm] H_0: [/mm] x*y=z und [mm] H_1: [/mm] x*y=z+dz und durch Betrachtung
der Streifen [mm] x\le \xi [/mm] < x+dx einmal für positives und einmal
für negatives x leicht plausibel machen.
Fragen:
I.) Ist meine obige Herleitung in Ordnung ?
II.) Kennt jemand einen einfacheren oder "besseren" Beweis ?
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Klingt erstmal richtig. Eine Idee zu 1): Da das t auch in [mm]f_Y(\bruch{z}{t})[/mm] steht, muss man wohl zeigen, dass dieser Teil schneller gegen Null geht als [mm]\bruch{1}{t}[/mm] gegen Unendlich.
Was haben wir da zur Verfügung? Eventuell geht es mit der Markoff-Ungleichung.
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> Eine Idee zu 1): Da das t auch in
> [mm]f_Y(\bruch{z}{t})[/mm] steht, muss man wohl zeigen, dass dieser
> Teil schneller gegen Null geht als [mm]\bruch{1}{t}[/mm] gegen
> Unendlich.
> Was haben wir da zur Verfügung? Eventuell geht es mit der
> Markoff-Ungleichung.
Dieses Thema (Durchgang durch die Stelle t=0) lasse ich
mal vorläufig beiseite und halte mich daran, dass es bei
Standard-Beispielen bei der numerischen Integration
(mit Mathematica) kein Problem gab. Dies liegt natürlich
daran, dass bei den üblichen Verteilungen die Dichten
[mm] f_X(t) [/mm] für grosse |t| sehr schnell gegen 0 gehen, so dass
von den Faktoren [mm] f_X(t) [/mm] und [mm] f_Y(\bruch{z}{t}) [/mm] im Integranden
wenigstens einer sehr, sehr klein ist, wenn |t|<<1
(oder auch, wenn |t|>>1) ist.
Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Do 23.10.2008 | | Autor: | detlef |
Hallo,
ich verstehe nicht, wie diese Gleichung zu stande kommt? Kannst du mir das bitte nochmal näher erlautern?
dS = dx|y(z+dz)-y(z)|
detlef
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> Hallo,
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> ich verstehe nicht, wie diese Gleichung zu stande kommt?
> Kannst du mir das bitte nochmal näher erlautern?
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> dS = dx|y(z+dz)-y(z)|
>
> detlef
Hallo detlef,
mach dir eine Zeichnung im x-y-Koordinatensystem:
[mm] H_o: [/mm] x*y=z
[mm] H_1: [/mm] x*y=z+dz
a: Parallele zur y-Achse an der Stelle x
b: Parallele zur y-Achse an der Stelle x+dx
Ferner sei [mm] y_o=\bruch{z}{x} [/mm] und [mm] y_1=\bruch{z+dz}{x}
[/mm]
(das sind die y-Koordinaten der Schnittpunkte
von a mit [mm] H_o [/mm] bzw. [mm] H_1)
[/mm]
dS ist der Flächeninhalt des kleinen Vierecks
zwischen den vier Linien. Für sehr kleine dx
und dz wird es praktisch zu einem Parallelogramm
mit der Höhe dx und der Grundlinie [mm] |y_1-y_o|
[/mm]
LG ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Do 23.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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