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| Aufgabe | | Sei $U$ eine Untergruppe und $N$ ein Normalteiler von $G$. Zeige: So ist $UN$ eine Untergruppe von $G$. |
Hallo,
zunächst gilt $UN=NU$, da $N$ Normalteiler ist. Hieraus soll unmittelbar folgen, dass $UN$ eine Untergruppe ist. Warum ist das so? Das ist mir nicht klar.
Ich würde wie folgt vorgehen:
[mm] $x_1 [/mm] , [mm] y_1 \in [/mm] U$ und [mm] $x_2, y_2 \in [/mm] N$, also [mm] $x=x_1x_2\in [/mm] UN$ sowie [mm] $y=y_1y_2 \in [/mm] UN$
Zeige $xy [mm] \in [/mm] UN$ und [mm] $x^{-1} \in [/mm] UN$:
[mm] $xy=x_1x_2y_1y_2=x_1y_1x_2y_2 \in [/mm] UN$ da [mm] $x_2 \in [/mm] N$
[mm] $x^{-1}=(x_1x_2)^{-1}=x_2^{-1}x_1^{-1}=x_1^{-1}x_2^{-1}\in [/mm] UN$, da [mm] $x_2 \in [/mm] N$
Kann man das so machen?
Danke! Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Di 14.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> zunächst gilt [mm]UN=NU[/mm], da [mm]N[/mm] Normalteiler ist. Hieraus soll
> unmittelbar folgen, dass [mm]UN[/mm] eine Untergruppe ist.
Das ist richtig.
> Ich würde wie folgt vorgehen:
>
> [mm]x_1 , y_1 \in U[/mm] und [mm]x_2, y_2 \in N[/mm], also [mm]x=x_1x_2\in UN[/mm]
> sowie [mm]y=y_1y_2 \in UN[/mm]
>
> Zeige [mm]xy \in UN[/mm] und [mm]x^{-1} \in UN[/mm]:
>
> [mm]xy=x_1x_2y_1y_2=x_1y_1x_2y_2 \in UN[/mm] da [mm]x_2 \in N[/mm]
Das ist falsch... warum sollte [mm] $x_2y_1=y_1x_2$ [/mm] sein?
> [mm]x^{-1}=(x_1x_2)^{-1}=x_2^{-1}x_1^{-1}=x_1^{-1}x_2^{-1}\in UN[/mm],
> da [mm]x_2 \in N[/mm]
Gleiches Problem.
Offenbar glaubst du, dass Elemente eines Normalteilers mit allen Elementen in G kommutieren, das ist aber i.A. nicht der Fall. Was aber gilt ist, dass für ein Element [mm]n\in N[/mm] und jedes [mm]g\in G[/mm] stets gilt [mm] $gn=\tilde{n}g$ [/mm] für ein gewisses [mm]\tilde{n}\in N[/mm]. Wenn du das beachtest wird dein Beweis sinngemäß richtig.
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
> Offenbar glaubst du, dass Elemente eines Normalteilers mit
> allen Elementen in G kommutieren, das ist aber i.A. nicht
> der Fall. Was aber gilt ist, dass für ein Element [mm]n\in N[/mm]
> und jedes [mm]g\in G[/mm] stets gilt [mm]gn=\tilde{n}g[/mm] für ein gewisses
> [mm]\tilde{n}\in N[/mm]. Wenn du das beachtest wird dein Beweis
> sinngemäß richtig.
>
Stimmt, ich verstehe das Problem.
Wieso folgt denn direkt aus $UN=NU$, dass $UN$ eine Untergruppe ist?
Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 14.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wieso folgt denn direkt aus [mm]UN=NU[/mm], dass [mm]UN[/mm] eine Untergruppe ist?
Direkt für jemanden, der da etwas geübter ist. Diese Gleichheit übersetzt sich doch genau in das [mm] $ng=g\tilde{n}$ [/mm] was ich dir geschrieben habe - und damit folgt einfach alles, nach einem kleinen Einzeiler. Einen "direkteren" Weg sehe ich nicht, an irgendeiner Stelle muss man nunmal auch was tun.
Übrigens genügt es zu zeigen, dass mit [mm] $x,y\in [/mm] UN$ auch [mm] $xy^{-1}\in [/mm] UN$ ist...
Gruß, Robert
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Ok, ein neuer Versuch:
[mm] $xy^{-1}=x_1x_2(y_1y_2)^{-1}=x_1x_2y_2^{-1}y_1^{-1}=x_1x_2y_1^{-1}\tilde{y}_2^{-1}=x_1y_1^{-1}\tilde{x}_2\tilde{y}_2^{-1} \in [/mm] UN$
Ist es nun ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 14.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ok, ein neuer Versuch:
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> [mm]xy^{-1}=x_1x_2(y_1y_2)^{-1}=x_1x_2y_2^{-1}y_1^{-1}=x_1x_2y_1^{-1}\tilde{y}_2^{-1}=x_1y_1^{-1}\tilde{x}_2\tilde{y}_2^{-1} \in UN[/mm]
>
> Ist es nun ok?
Ja...
Gruß, Robert
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