Probleme bei Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe noch einige Schwierigkeiten bei der Induktion. Es wird vorausgesetzt das wir diese bis zur nächsten Vorlesung selbst erarbeitet haben.. leider werde ich aus einigen Tutorien und Aufgaben im Internet nicht schlau.. bzw ich verstehe sie, kann sie aber nicht aus diese Aufgabe beziehen..könnt ihr mir bei meinem Probebeispiel einen Lösungsweg nennen?
Es gibt ein a [mm] \varepsilon \IR [/mm] und 0<a<1...Zu zeigen: für alle n [mm] \varepsilon \IN [/mm] ist [mm] (1+na)(1-a)^n [/mm] < 1
Also ich würde jetzt eine Induktion nach n vollziehen und im Induktionsanfang für n=1 und für a=0,5 einsetzten
Induktionsanfang:
(1+1*0,5) * (1-0,5) = 1,5/2 also <1
1.Doch was ist dann meine Induktionsvoraussetzung?
2.und wie kann ich in einer Kette von Ungleichungen die Induktion durchführen?
3. Klar. Im Induktionsschritt setzte ich für alle n , n+1 ein. Aber lasse ich a als Variable stehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Alex,
da hast Du Dir nicht gerade die einfachste Aufgabe ausgesucht...
> Ich habe noch einige Schwierigkeiten bei der Induktion. Es
> wird vorausgesetzt das wir diese bis zur nächsten
> Vorlesung selbst erarbeitet haben.. leider werde ich aus
> einigen Tutorien und Aufgaben im Internet nicht schlau..
> bzw ich verstehe sie, kann sie aber nicht aus diese Aufgabe
> beziehen..könnt ihr mir bei meinem Probebeispiel einen
> Lösungsweg nennen?
> Es gibt ein a [mm]\varepsilon \IR[/mm] und 0<a<1...
Das ist eine Vorgabe. Gegeben ist [mm] a\in\IR [/mm] mit 0<a<1.
Übrigens: statt \varepsilon nimm lieber das "Element von"-Zeichen [mm] \in, [/mm] geschrieben \in.
> Zu zeigen: für
> alle n [mm]\varepsilon \IN[/mm] ist [mm](1+na)(1-a)^n[/mm] < 1
> Also ich würde jetzt eine Induktion nach n vollziehen
Weiß ich noch gar nicht. Ist das verlangt?
Ich würde sonst zuerst etwas anderes probieren...
> und
> im Induktionsanfang für n=1 und für a=0,5 einsetzten
Nein. Du darfst da nichts für a einsetzen, a ist ein gegebener Parameter, also feststehend. Da kannst Du nicht einfach einen eigenen Wert annehmen.
> Induktionsanfang:
> (1+1*0,5) * (1-0,5) = 1,5/2 also <1
> 1.Doch was ist dann meine Induktionsvoraussetzung?
Na, wie immer: es gibt ein n, so dass die Behauptung erfüllt ist.
> 2.und wie kann ich in einer Kette von Ungleichungen die
> Induktion durchführen?
Dazu lieferst Du besser erstmal einen eigenen Versuch ab.
> 3. Klar. Im Induktionsschritt setzte ich für alle n , n+1
> ein. Aber lasse ich a als Variable stehen?
Unbedingt. Als Parameter.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
nein, Induktion ist nicht verlangt. Aber was würdest du anderes probieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ein großer Unterschied ob da steht es gibt ein a, oder für alle a mit 0<a<1 gilt
ich nehm mal an das zweite.
dann zu n=q
was iat (1+a)*(1-a) ausrechnen und für alle 0<a<1 nachweisen.
2. Ind,Vors:
[mm] (1+na)*(1-a)^n<1
[/mm]
Behauptung dann gilt auch [mm] (1+(n+1)*a)*(1+a)^{n+1} [/mm] d.h. das folgt daraus.
umschreiben: (1+(n+1)*a)=(1+na+a) ; [mm] (1+a)^{n+1} =(1+a)^n*(1+a)
[/mm]
dann die Induktionsvoraussetzng benutzen. und natürlich 0<a<1 und damit 0<1-a<1
jetzt versuch dich mal dran.
ein anderer Weg: wenn du die Bernoullische Ungleichung kennst, oder zeigst (wiki) dann geht es direkt, indem du sie benutzt .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok danke..soweit komm ich mit mein Term lautet dann ja:
(1+na+a) * [mm] (1+a)^n [/mm] * (1+a)
doch wie kann ich die Induktionsvoraussetzung da einsetzen? denn ich habe ja (1+na+a) am Anfang meiner Ungleichung und nicht (1+na) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Sa 09.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel rumprobieren sollte man schon.
(1+na+a) * [mm] (1-a)^n=(1+n*a)*(1-a)^n+a*(1-a)^n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ja dann habe ich als Ergebnis die Ungleichung:
1+ [mm] a(1-a)^n [/mm] * (1-a)
Frage: Wieso kann ich an dieser Stelle die Induktionsvoraussetzung einsetzen? Denn es heißt ja nicht kleiner /gleich 1 sondern nur kleiner 1...?
Frage 2: Wie kann ich jetzt die Bedingung 0<a<1 in die Ungleichungskette einbauen?
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> ja dann habe ich als Ergebnis die Ungleichung:
> 1+ [mm]a(1-a)^n[/mm] * (1-a) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich sehe da keine Ungleichung, sondern nur einen Term !
> Frage: Wieso kann ich an dieser Stelle die
> Induktionsvoraussetzung einsetzen? Denn es heißt ja nicht
> kleiner /gleich 1 sondern nur kleiner 1...?
> Frage 2: Wie kann ich jetzt die Bedingung 0<a<1 in die
> Ungleichungskette einbauen?
Ich würde vorschlagen, zunächst einen oder zwei
Schritte zurück zu gehen. Im Induktionsschritt
muss gezeigt werden:
Falls 0<a<1 und $\ [mm] (1+n*a)*(1-a)^n\ [/mm] <\ 1$ (IV)
dann gilt auch: $\ [mm] (1+(n+1)*a)*(1-a)^{n+1}\ [/mm] <\ 1$
Ich würde dir vorschlagen, diese zu beweisende Ungleichung
so zu schreiben:
$\ [mm] \left[(1+n*a+a)*(1-a)\right]*(1-a)^{n}\ [/mm] <\ 1$
Multipliziere nun in der eckigen Klammer aus und
fasse zusammen. Und dann solltest du wieder darauf
gucken, wie nun die Induktionsvoraussetzung (IV)
eingesetzt werden kann.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok dann folgt:
[(1+na+a)*(a-1)] * [mm] (a-1)^n
[/mm]
[mm] [1+na-na^2 -a^2 [/mm] ] * [mm] (1-a)^n
[/mm]
[mm] [(-na^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] ) * [mm] (1-a)^n [/mm] ] + [(1+na) * [mm] (1-a^n)]
[/mm]
(-a * [mm] (na-1)*(1-a)^n) [/mm] +1
-a + 1
jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich weiter umformen soll. Damit die Induktion bzw der Beweis bestätig ist muss am Ende ja =1 rauskommen bzw auf beiden Seiten der Ungleichung stehen. Wie kann ich also den obigen Term weiter umformen? oder reicht der Ausdruck:
-a + 1 < 1 (für alle 0<a<1) ??
der er ja für alle a kleiner 1 und größer 0 bestätigt ist..
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> ok dann folgt:
> [(1+na+a)*(a-1)] * [mm](a-1)^n[/mm]
> [mm][1+na-na^2 -a^2[/mm] ] * [mm](1-a)^n[/mm]
> [mm][(-na^2[/mm] - [mm]a^2[/mm] ) * [mm](1-a)^n[/mm] ] + [(1+na) * [mm](1-a^n)][/mm]
> (-a * [mm](na-1)*(1-a)^n)[/mm] +1
> -a + 1
Hallo Alex, weshalb weigerst du dich eigentlich strikt,
wirklich die Ungleichungen bzw. eine Ungleichungs-
kette aufzuschreiben ??
> jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich weiter umformen
> soll. Damit die Induktion bzw der Beweis bestätig ist muss
> am Ende ja =1 rauskommen bzw auf beiden Seiten der
> Ungleichung stehen.
Wer um Himmels willen hat dir denn das so erklärt ?
> Wie kann ich also den obigen Term
> weiter umformen? oder reicht der Ausdruck:
> -a + 1 < 1 (für alle 0<a<1) ??
>
> der er ja für alle a kleiner 1 und größer 0 bestätigt
> ist..
Also nochmals:
Im Induktionsschritt muss gezeigt werden:
Falls 0<a<1 und $ \ [mm] (1+n\cdot{}a)\cdot{}(1-a)^n\ [/mm] <\ 1 $ (IV)
dann gilt auch: $ \ [mm] (1+(n+1)\cdot{}a)\cdot{}(1-a)^{n+1}\ [/mm] <\ 1 $
Ich würde dir vorschlagen, diese zu beweisende
Ungleichung so zu schreiben:
$ \ [mm] \left[(1+n\cdot{}a+a)\cdot{}(1-a)\right]\cdot{}(1-a)^{n}\ [/mm] <\ 1 $
Multipliziere nun in der eckigen Klammer aus und
fasse zusammen. Und dann solltest du wieder darauf
gucken, wie nun die Induktionsvoraussetzung (IV)
eingesetzt werden kann.
Das Ausmultiplizieren und Zusammenfassen in der
eckigen Klammer führt auf:
$ \ [mm] \left[1+n*a-n*a^2-a^2\right]\cdot{}(1-a)^{n}\ [/mm] <\ 1 $ (U)
So, wenn du diese nun noch zu beweisende Ungleichung (U)
mit der Ungleichung der Induktionsvoraussetzung (IV)
vergleichst, kannst du sehen, dass diese Ungleichungen
sich nur in den hier blau dargestellten Anteilen unter-
scheiden:
$ \ [mm] (1+n\cdot{}a)\cdot{}(1-a)^n\ [/mm] <\ 1 $ (IV)
$ \ [mm] \left[1+n*a\blue{-n*a^2-a^2}\right]\cdot{}(1-a)^{n}\ [/mm] <\ 1 $ (U)
Mach dir klar, dass (und warum !) diese blauen Terme
einen negativen Wert haben müssen und weshalb darum
dann aus der Gültigkeit der Ungleichung (IV) auch die
Gültigkeit der Ungleichung (U) mit den blauen Termen folgt !
Hinweis: wenn eine altertümliche Krämerwaage im
Ungleichgewicht ist (z.B. linke Schale oben, rechte
Schale unten), und du dann von der linken Schale
z.B. noch einen Apfel wegnimmst, was passiert dann ...
oder besser gefragt: was passiert dann bestimmt nicht ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
dann sind die Schalen im Gleichgewicht..bzw was nicht passiert: die linke Schale geht noch weiter runter richtig?
aber du hast doch gesagt ich soll die Induktionsvoraussetzung einsetzten..warum ist das denn falsch was ich gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 09.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich zumindest sehe nicht, wo du die insvors eingesetzt hast.
vielleicht schreibst du es nochmal ordentlich auf, etwa wie a und zeigst fgenau wo und wie du die Vors einsettz bzw benutzt.
die IndVors ist ja eine Ungleichung, wo benutzt du die (einsetzen kann man nur Terme die gleich sind.,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay also nochmal:
[(1+na+a)*(a-1)] * [mm] (a-1)^n [/mm] --> jetzt ausklammern
[mm] [1+na-na^2 -a^2 [/mm] ] * [mm] (1-a)^n [/mm] ---> ausformulieren
[mm] [(-na^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] ) * [mm] (1-a)^n [/mm] ] + [(1+na) * [mm] (1-a^n)]---> [/mm] das was in der letzten eckigen Klammer steht ist doch die IV) oder? also habe ich dafür im nächsten Schritt =1 eingesetzt
(-a * [mm] (na-1)*(1-a)^n) [/mm] +1 --> hier habe ich (-a) ausgeklammert. das was nach -a steht ist jetzt wieder die IV) also habe ich dafür im nächsten Schritt wieder =1 eingesetzt
-a*1 + 1
stimmt das nicht so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 09.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, du sollst mit Ungleichungen was zeigen, da gibts kein ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
udn mir ist auch klar wieso U automatisch auch gilt, denn wenn die linke Seite der Induktionsvoraussetzung schon kleiner 1 ist, dann ist die linke Seite von U, wenn noch was abgezogen wird, logischerweise auch kleiner 1...
und das was abgezogen wird ergibt sich daraus das es negativ seinMUSS..da a zwischen 0 und 1 liegt und n auch immer positiv ist..
aber reicht das schon um die Induktion zu beenden ?
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> udn mir ist auch klar wieso U automatisch auch gilt, denn
> wenn die linke Seite der Induktionsvoraussetzung schon
> kleiner 1 ist, dann ist die linke Seite von U, wenn noch
> was abgezogen wird, logischerweise auch kleiner 1...
> und das was abgezogen wird ergibt sich daraus das es
> negativ seinMUSS..da a zwischen 0 und 1 liegt und n auch
> immer positiv ist..
> aber reicht das schon um die Induktion zu beenden ?
Nein, nicht ganz.
(U) hatte die Form A*B<1
und (IV) die Form C*B<1
und wir haben gesehen, dass C<A sein muss. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Edit: Leider ist mir da eine Verwechslung passiert. Es sollte
genau umgekehrt sein: A<C
Um aus diesen Voraussetzungen zu schließen, dass
aus Ungleichung (U) die Ungleichung (IV) folgt,
brauchst du noch, dass B>0 ist.
(Ich verwende Abkürzungen, um nicht selber noch
ein weiteres Mal das zu zitieren, was ich vorher
selber schon entworfen und schön präpariert habe !
Zitiere doch bitte bei Rückfragen alles, auf das sich
deine Rückfrage bezieht und worauf man antworten
sollte. Sonst überlässt du einfach die Hauptarbeit
uns anstatt dir selber !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
aber aus 0<a<1 folgt doch das B [mm] (B=((1-a)^n)) [/mm] größer 0 ist..oder?reicht das als Beweis?
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> aber aus 0<a<1 folgt doch das B [mm](B=((1-a)^n))[/mm] größer 0
> ist..oder?reicht das als Beweis?
Na eben. Aber in einem Beweis muss man solche
Überlegungen eben ausdrücklich angeben und darf
sie nicht einfach stillschweigend annehmen oder
gar selber einfach über deren Notwendigkeit
hinwegsehen !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay. du hast recht nur eine letzte banale Frage noch:
Wenn ich den Induktionsschritt aufschreibe, darf ich die 1 auf der rechten Seite der Gleichung durch die die linke Seite der Induktionsvoraussetzung ersetzen?
also auf der linken Seite (n+1) eingesetzt und auf der rechten Seite die linke Seite der Induktionsvoraussetzung? Weil sobald die rechte Seite kleiner oder gleich der linken Seite der Induktionsvoraussetzung ist gilt diese ja auch
also damit du weißt was ich meine:
[mm] (1+(n+1)*a)*(1-a)^n \le (1+na)*(1-a)^n [/mm]
dann wäre das ein Teil des Induktionsschritts..
danke schonmal für deine Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 09.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> okay. du hast recht nur eine letzte banale Frage noch:
> Wenn ich den Induktionsschritt aufschreibe, darf ich die 1
> auf der rechten Seite der Gleichung durch die die linke
> Seite der Induktionsvoraussetzung ersetzen?
sicher nicht, denn die linke Seite der IV ist doch <1!
> also auf der linken Seite (n+1) eingesetzt und auf der
> rechten Seite die linke Seite der Induktionsvoraussetzung?
> Weil sobald die rechte Seite kleiner oder gleich der linken
> Seite der Induktionsvoraussetzung ist gilt diese ja auch
> also damit du weißt was ich meine:
> [mm](1+(n+1)*a)*(1-a)^n \le (1+na)*(1-a)^n[/mm]
das folgt sicher nicht aus der Ind. Vors. und auch sonst nicht!denn 1+(n+1)*a>1-n*a also ist sicher die linke Seite großer als die rechte
> dann wäre das ein Teil des Induktionsschritts..
nein ein großer Fehler!
und bitte schreib deinen Beweis jetzt noch mal so ordentlich auf, wie du ihn abgeben würdest, ein =1 etwa taucht nicht auf
Bisher stand von dir hier noch nirgends ein Beweis, der ordentlich formuliert ist und den man als Übung abgeben könnte.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 10.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Weil ich euch einen Beweis aufschreiben wollte habe ich jetzt mal ein bisschen rumgetüffelt..und ich frage mich jetzt wieso eigentlich C<A ist? Wenn ich für a=0,5 wähle und für n=1 und dies in die Terme A bzw. C einsetze kommt für C 1,5 raus und für A=1... das spricht ja gegen deine Behauptung..und generell wird ein Term doch immer kleiner, umso mehr man abzieht und durch den von dir blau unterlegten Teil ziehen wir doch was ab...Gestern habe ich es nämlich so verstanden das C>A und das daher aus der Gültigkeit der IV aus die Gültigkeit von A*B < 1 folgt..das klang für mich logisch.. nachdem ich jedoch alles nochmal durchgangen bin verstehe ich den Schritt nicht mehr ganz...:-(
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> Weil ich euch einen Beweis aufschreiben wollte habe ich
> jetzt mal ein bisschen rumgetüffelt..und ich frage mich
> jetzt wieso eigentlich C<A ist? Wenn ich für a=0,5 wähle
> und für n=1 und dies in die Terme A bzw. C einsetze kommt
> für C 1,5 raus und für A=1... das spricht ja gegen deine
> Behauptung..und generell wird ein Term doch immer kleiner,
> umso mehr man abzieht und durch den von dir blau
> unterlegten Teil ziehen wir doch was ab...Gestern habe ich
> es nämlich so verstanden das C>A und das daher aus der
> Gültigkeit der IV aus die Gültigkeit von A*B < 1
> folgt..das klang für mich logisch.. nachdem ich jedoch
> alles nochmal durchgangen bin verstehe ich den Schritt
> nicht mehr ganz...:-(
(U) hatte die Form A*B<1 nämlich $ \ [mm] \left[1+n\cdot{}a\blue{-n\cdot{}a^2-a^2}\right]\cdot{}(1-a)^{n}\ [/mm] <\ 1 $ (U)
und (IV) die Form C*B<1 nämlich $ \ [mm] (1+n\cdot{}a)\cdot{}(1-a)^n\ [/mm] <\ 1 $ (IV)
und wir haben gesehen, dass C<A sein muss.
Leider ist mir da eine Verwechslung passiert. Es sollte
genau umgekehrt sein: A<C
Mea culpa ! Sorry ...
Um aus diesen Voraussetzungen zu schließen, dass
aus Ungleichung (U) die Ungleichung (IV) folgt,
brauchst du noch, dass B>0 ist.
Und nochmals die Bitte:
Zitiere doch bitte bei Rückfragen alles, auf das sich
deine Rückfrage bezieht und worauf man antworten
sollte. Sonst überlässt du einfach die Hauptarbeit
uns anstatt dir selber !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 So 10.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke, das wollte ich hören  danke
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> 2. Ind,Vors:
> [mm](1+na)*(1-a)^n<1[/mm]
> Behauptung dann gilt auch [mm](1+(n+1)*a)*(1\mathbf{\red{+}}a)^{n+1}[/mm]
Hoppla leduart, da ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen,
der im vorliegenden Zusammenhand fatal ist ...
LG , Al
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