Problem mit einer Ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 24.11.2005 | | Autor: | neron |
Hallo
Ich habe ein Problem mit folgender Ungleichung:
[mm] x^{3}+3x^{2}-x-3>0
[/mm]
Aus den (leider sehr schlampigen) Aufzeichnungen eines Kollegen habe ich - wie ich schon vermutete - gesehen das der Ausdruck durch Polynomdivision in eine andere Form gebracht wird, um ihn dann mit der p-q Formel zu Leibe zu rücken ...
Die Lösungsmenge die meine Kollege errechnet hat ist L=]-3,-1[ [mm] \wedge [/mm] ]1, [mm] \infty [/mm] [
Was ich nicht verstehe ist, wie man bei der Polynomdivision auf den(oder die) Divisor(en) kommt.
Ich bitte um Hilfe. Über ein paar Tips zum Ungleichungen dieses Types wär ich auch ned beleidigt ;)
mfg
Neron
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Hallo neron!
Auf die erste Nullstelle solcher (ganzzahliger) Polynome kommte man durch Raten bzw. gezieltem Probieren.
Und zwar sollte man stets mit den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes (hier: $- \ 3$) beginnen. also: [mm] $\pm [/mm] \ 1$ und [mm] $\pm [/mm] \ 3$
Und siehe da: es klappt z.B. mit der $1_$ ...
Also führen wir nun folgende  Polynomdivision durch:
[mm] $\left(x^2+3x^2-x-3\right) [/mm] \ : \ (x-1) \ = \ ...$
Den entstehenden quadratischen Ausdruck können wir dann mit der p/q-Formel weiter faktorisieren.
Dann das ist Ziel dieser Aktion (bzw. um diese Ungleichung zu lösen): das Polynom in ein Produkt umzuwandeln.
Denn ein Produkt von drei Faktoren ist genau dann größer als Null (positiv), wenn alle drei Faktoren positiv sind oder genau Faktoren negativ.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 24.11.2005 | | Autor: | neron |
Vielen Dank für deine Antwort!
Blöde Fragen zuerst:
Ich nehme mal stark an, wenn ich bei der Polynomdivision einen Rest erhalte, heißt das, dass hier kein Nullpunkt vorhanden ist.
Du sagst also ich muss den Polynom in Faktoren zerlegen um die Lösungsmenge berechnen zu können. Nagut, lassen wir das einmal im Raum stehen.
Kommen wir auf die besprochene Nullstelle bei x=1 zurück:
das Ergebnis der Polynomdivision ist [mm] x^{2} [/mm] +4x+3. Mit der p-q Formel bekomme ich -3 bzw. -1, was laut Kollege den ersten der zwei Intervalle für die Lösungsmenge darstellt.
Muss ich nun Raten weiter raten wo er liegen könnte? Aber mal ehrlich, da werd ich bei einer Prüfung ja alt, falls ein ganz blöder Polynom kommt. Gibts da nicht doch noch Mittel und Wege ohne pures Probieren auf die anderen Nullstellen zu kommen?
mfg
Neron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 24.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Neron,
> Vielen Dank für deine Antwort!
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> Blöde Fragen zuerst:
> Ich nehme mal stark an, wenn ich bei der Polynomdivision
> einen Rest erhalte, heißt das, dass hier kein Nullpunkt
> vorhanden ist.
Das ist richtig, oder anders herum ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]") , geht die Division auf, dann Nullstelle.
> Du sagst also ich muss den Polynom in Faktoren zerlegen um
> die Lösungsmenge berechnen zu können. Nagut, lassen wir das
> einmal im Raum stehen.
Im Raum, ein weises Wort 
> Kommen wir auf die besprochene Nullstelle bei x=1 zurück:
> das Ergebnis der Polynomdivision ist [mm]x^{2}[/mm] +4x+3. Mit der
> p-q Formel bekomme ich -3 bzw. -1, was laut Kollege den
> ersten der zwei Intervalle für die Lösungsmenge darstellt.
> Muss ich nun Raten weiter raten wo er liegen könnte?
halt, halt halt - ich hab sie dir mal rot angemalt - was willst du noch raten?
Sind doch drei ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Aber
> mal ehrlich, da werd ich bei einer Prüfung ja alt, falls
> ein ganz blöder Polynom kommt. Gibts da nicht doch noch
> Mittel und Wege ohne pures Probieren auf die anderen
> Nullstellen zu kommen?
ok.
Wie sieht denn die Funktion aus:
Sie kommt von - [mm] \infty [/mm] und durchstößt die X-Achse bei -3. Da die Funktion echt größer 0 sein soll, zählt -3 zum Intervall nicht mit.
Sie verschwindet bei -1 wieder im Minus - gleiches Spiel - die -1 wird ausgeschlossen.
Bei 1 taucht sie abermals im Plus auf und bleibt dort bis + [mm] \infty
[/mm]
Damit hast du deine Intervalle.
Du musst üben, dir die Funktionen vorzustellen - ich hab sie auch nicht gezeichnet.
Keine Garantie für nix!
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 24.11.2005 | | Autor: | neron |
Habs gecheckt :)
Nur noch eine Frage:
Welche Bereiche werden eigentlich gesucht?*hüstel*
Die in denen y > 0 ist?
Bitte seid mir ned bös wenn ich so viel Quatsch frage, aber ich in Mathe so viel nachzuholen ...
mfg
Neron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Do 24.11.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo neron!
Diese Frage kannst Du Dir doch selber beantworten, indem Du Dir die Ausgangsaufgabe (Ungleichung) ansiehst, oder? 
Gruß vom
Roadrunner
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