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Problem mit Vereinigung: richtige Anwendung?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:30 So 17.06.2012
Autor: bandchef

Ich hab hier diesen Ausdruck rausbekommen:

[mm] $\{a\}^\star \cdot \{b\}^\star [/mm] = [mm] \{ a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0 \}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N_0} a^i \cdot \bigcup_{j \in \mathbb N_0} b^j [/mm] = [mm] \{ a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0 \}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \bigcup_{i,j \in \mathbb N_0} \left( a^i \cdot b^j \right) [/mm] = [mm] \{ a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0 \}$ [/mm]


Erstens: Darf man das so?

Zweitens: Wie geht's hier nun weiter, um die Gleichheit der beiden Seiten festzustellen? Der Malpunkt ist übrigens die Mengen-Konkatenation und das Sternchen die Kleene'sche-Hülle! PS: Die zweite Zeile kommt von meiner Lösung und ist so definitiv richtig!

Ich hoff ihr könnt mir weiterhelfen! Danke!

        
Bezug
Problem mit Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 So 17.06.2012
Autor: leduart

Hallo
so allgemein ist das sicher sinnlos.
was ist denn {a}? normalerweise die menge, die aus dem element a besteht, dann müsste man noch wissen was a ist. eine reelle zahl, ein dreieck, eine kuh?
2. kann man vielleicht eine Multiplikation zwischen Mengen definieren, so wie das in der ersten zeile steht ist das aber sehr eigenartig sollen die i,j Hochzahlen sein oder indices?, Hochzahlen machen für mich keinen sinn, Indices höchstens, falls {a} ein Symbol für [mm] {a_i|i\in \IN_0} [/mm]
dann ist aber die zweite Zeile dasselbe wie die erste.
Kannst du den Zusammenhang sagen, aus dem diese Multiplikation von mengen kommt?
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Problem mit Vereinigung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Mo 18.06.2012
Autor: bandchef

Oh, Entschuldige bitte! Ich hab wirklich vergessen zu schreiben, dass es sich hier um Sprachen handelt von denen ich die Gleichheit beweisen soll. Ich hab die Aufgabe aber mittlerweile gelöst:

[mm] $\{a\}^\star \cdot \{b\}^\star [/mm] = [mm] \{a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N_0}\left( \{a\}^i \right) \cdot \bigcup_{i \in \mathbb N_0}\left( \{b\}^j \right) [/mm] = [mm] \{a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \{a^i | i \in \mathbb N_0\} \cdot \{b^j | j \in \mathbb N_0\} [/mm] = [mm] \{a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \{a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\} \cdot \{a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\}$ [/mm]




Ich hätt zum gleichen Aufgabentyp aber noch eine Aufgabe, von der ich leider auch nicht weiß, ob das so passt:

[mm] $\left( \{ a \}^\star \cdot \{b\}^\star \right)^\star [/mm] = [mm] \left( \{a,b\}^2 \right)^\star [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N_0} \left( \left\{ \bigcup_{i \in \mathbb N_0} \left( \{a\}^i \right) \cdot \bigcup_{j \in \mathbb N_0} \left( \{b\}^j\right) \right\}^k \right) [/mm] = [mm] \bigcup_{l \in \mathbb N} \left( \left\{\{a,b\}^2\right\}^l \right) [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N_0} \left( \left\{ \{ a^i \cdot b^j | i,j \in \mathbb N_0\} \right\}^k \right) [/mm] = [mm] \left\{ \left\{ \left\{ a,b \right\}^2 \right\}^l |l \in \mathbb N_0 \right\} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \left\{\{ a^i \cdot b^j \}^k| i,j,k \in \mathbb N_0\right\} [/mm] = [mm] \left\{ \left\{ a,b \right\}^{2l} |l \in \mathbb N_0 \right\}$ [/mm]



Bitte gib mir auch bescheid, wenn du mir nicht helfen kannst! Danke :-)

Bezug
                        
Bezug
Problem mit Vereinigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 18.06.2012
Autor: felixf

Moin!

> Oh, Entschuldige bitte! Ich hab wirklich vergessen zu
> schreiben, dass es sich hier um Sprachen handelt von denen

In dem Fall gehoert die Diskussion in's Forum ueber formale Sprachen in der Informatik.

> Ich hätt zum gleichen Aufgabentyp aber noch eine Aufgabe,
> von der ich leider auch nicht weiß, ob das so passt:
>  
> [mm]$\left( \{ a \}^\star \cdot \{b\}^\star \right)^\star[/mm] =
> [mm]\left( \{a,b\}^2 \right)^\star[/mm]

Das stimmt so nicht. In der rechten Sprache hat jedes Wort die Laenge $2 k$ fuer ein $k [mm] \in \IN_0$. [/mm] In der linken Sprache gibt's auch Woerter ungerader Laenge.

LG Felix


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Problem mit Vereinigung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:07 Mo 18.06.2012
Autor: bandchef

Ok. Das stimmt also so nicht. Wie schreib ich das dann formal auf? Kannst du mir da ein bisschen helfen?

Bezug
                                        
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Problem mit Vereinigung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 20.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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