Problem beim Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Zeigen Sie für z [mm] \in \IC [/mm] , |z| < 1, dass das Cauchy-Produkt von
[mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^{j} [/mm] und [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}z^{j} [/mm] die Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^{2j} [/mm] ist
1. direkt
2. unter Benutzung expliter Funktionsausdrücke, wie
[mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}z^{j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] |
Hallo,
Kann mir da jemand helfen? Komme mit der Aufgabenstellung an sich schon nicht gut klar. Was meint man z.B. mit "direkt"? Also was soll da gelten? Und bei 2.: Klar ist das eine geometrische Reihe, aber was soll mir das hier helfen? Danke sehr für Antworten.
Gruß
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Ich vermute mal, die beiden Reihen sollen
$ [mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^j$ [/mm] und $ [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}z^{j}$ [/mm] heissen.
Bei 1. sollst du
$ [mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^j [/mm] * [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}z^{j}$
[/mm]
mithilfe der Cauchy-Produktformel berechnen und bei 2. sollst du
$ [mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^j [/mm] * [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}z^{j}$ [/mm]
berechnen, indem du die Summen vorher mithilfe der geometrischen Summenformel umschreibst, dann umformst (Tip: 3. binomische Formel) und das Ergebnis wieder in eine geometrische Reihe umschreibst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du mir das mit dem Cauchy mal zeigen bzw. andeuten, was ich jetzt grob machen muss? Kenne zwar das Kriterium, nur die Anwendung fällt mir schwer (leider :( )
Ähm, bei dem 2. versuch ichs mal. Danke schonmal.
EDIT: Du hattest recht, hab meinen ersten Beitrag korrigiert.
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Huhu,
na wie lautet die Cauchy-Produktformel denn?
Dann setze dein [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] und dann einfach einsetzen.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, ich kenne die Formel so
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} a_{k})(\summe_{k=0}^{\infty} b_{k})
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k})
[/mm]
Stimmt das so? Aber irgendwie kapier ich das immer noch nicht? Wenn die Formel da oben So stimmt. So kenn ich die. Der Beweis war ja nicht allzu schwierig (aber das war eine andere Aufgabe ;))
Bei 2. Kannst du mir auch kurz zeigen, wie man den 2. Teil in die andere Schreibweise bzgl. geometrische Reihe bekommt?
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> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} a_{k})(\summe_{k=0}^{\infty} b_{k})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So, nun steht da ja:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} z^k$ [/mm] und [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^kz^k$
[/mm]
Was ist also dein [mm] a_k [/mm] und dein [mm] b_k [/mm] ? Nun nur noch einsetzen.....
>
> Bei 2. Kannst du mir auch kurz zeigen, wie man den 2. Teil
> in die andere Schreibweise bzgl. geometrische Reihe
> bekommt?
Du hast doch schon die Form der geometrischen Reihe!
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} z^j$ [/mm] hat die Form und
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^kz^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-z)^k$ [/mm] auch.
Wie lautet nun die Formel für die geometrische Reihe? Einfach einsetzen.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also gut, ich versuchs mal.
Steht da dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n}z^{k} \* (-1)^{n-k} z^{n-k}
[/mm]
Und dann? Ich seh irgendwie nicht, was mir das nützen soll. xD Aber schonmal Danke für Hilfe.
Ähm, zu 2.
Dann wäre der zweite Term ja [mm] \bruch{1}{1+z}
[/mm]
Der erste war [mm] \bruch{1}{1-z}
[/mm]
Und zusammen:
[mm] \bruch{1}{1-z} \* \bruch{1}{1+z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^{2}} [/mm] Und nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 Mi 15.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Beim 1. überlege ich gleich mal (muss jetzt zur Uni xD)
Beim 2. hab ich mich wirklich stark vertan. natürlich steht da
[mm] \bruch{1}{1+z)(1-z)} [/mm] Ich soll aber doch wieder auf eine geometrische Reihe kommen oder, aber die sehe ich nicht. Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beim 1. überlege ich gleich mal (muss jetzt zur Uni xD)
>
> Beim 2. hab ich mich wirklich stark vertan. natürlich
> steht da
>
> [mm]\bruch{1}{1+z)(1-z)}[/mm] Ich soll aber doch wieder auf eine
> geometrische Reihe kommen oder, aber die sehe ich nicht.
Herr Klaus von Binomi sagt dazu:
[mm]\bruch{1}{(1+z)(1-z)}= \bruch{1}{1-z^2}[/mm]
Und was sagt Giovanni de Geometri dazu, wenn |z|<1 ist ?
FRED(erico)
> Danke schonmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so, stimmt ja. Ist wieder eine geometrische Reihe. ;) Die gesuchte.
Zur 1. Habs nochmal versucht:
Gegeben waren ja:
[mm] \summe_{j=0}^{\infty} z^{j} \summe_{j=0}^{\infty} (-1)^{j} z^{j}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{n} z^{j} (-1)^{n-j} \* z^{n-j}
[/mm]
=> [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{-j}(\summe_{j=0}^{n} (-1)^{n} z^{n}
[/mm]
=> Wähle n gerade, also n = 2j (weil sonst fällt alles weg), d.h.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{-j}(\summe_{j=0}^{2j} (-1)^{n} z^{n}
[/mm]
Die letzte Summe ist gelich [mm] z^{2j}
[/mm]
Ähm, stimmt das so? ich hab irgendwie das Gefühl, das was falsch ist (vllt auch formal) Danke schonmal.
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Huhu,
> Zur 1. Habs nochmal versucht:
>
> Gegeben waren ja:
>
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty} z^{j} \summe_{j=0}^{\infty} (-1)^{j} z^{j}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{n} z^{j} (-1)^{n-j} \* z^{n-j}[/mm]
> => [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{-j}(\summe_{j=0}^{n} (-1)^{n} z^{n}[/mm]
Du kannst die [mm] $(-1)^j$ [/mm] doch gar nicht rausziehen! j ist doch der Laufindex.
> => Wähle n gerade, also n = 2j (weil sonst fällt alles
> weg), d.h.
Wählen kannst du gar nichts, da n ebenfalls ein Laufindex ist.
Tip: Zieh mal nur das [mm] z^n [/mm] aus der Summe raus und begründe, warum die verbleibende Summe gerade darüber entscheidet, ob das [mm] z^n [/mm] eine Rolle spielt, oder nicht 
Also: [mm] $\summe_{j=0}^n (-1)^{n-j}$
[/mm]
Dass du nachher erkennst, dass nur für gerade n überhaupt was dasteht, kannst du eine Variablensubstitution $n=2k$ machen, dann stehts da.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so stimmt ja. Hab da irgendwie den Index nicht beachtet. Aber schonmal danke, dass du mich darauf hingewiesen hast.
Ich versteh auch deine Umformung, aber was ich denn mit
[mm] (-1)^{n-j} [/mm] machen? Ich kenne ja weder n noch j? Deswegen bringt es mir nichts, wenn ich n gerade oder sowas sage, weil ich das j ja nicht kenne. Bin grad irgendwie verwirrt.
Macht es dir was aus, für mich das nochmal zu erklären?
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Huhu,
> [mm](-1)^{n-j}[/mm] machen? Ich kenne ja weder n noch j? Deswegen
> bringt es mir nichts, wenn ich n gerade oder sowas sage,
> weil ich das j ja nicht kenne. Bin grad irgendwie
> verwirrt.
das j ist doch der Laufindex!
Das durchläuft alle Zahlen von 0 bis n.
Zeige also (oder mach dir klar), dass gilt:
[mm] $\summe{j=0}^n(-1)^{n-j} [/mm] = 0$, wenn n ungerade
[mm] $\summe{j=0}^n(-1)^{n-j} [/mm] = 1$, wenn n gerade
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
So, damit ich die Zusammenhänge verstehe.
Das j ist der Laufindex und das n in der oberen Summationsgrenze ist das selbe wie in [mm] (-1)^{n-j}?
[/mm]
Also kann ich mir vorstellen, dass das n fest wäre, also nicht beliebig?
Stimmt das soweit?
Aber die Folgerung mit n gerade und ungerade versteh ich immer noch nicht. Es tut mir irgendwie schon leid xD Sag mir bitte erstmal, ob obiges stimmt und ich überlege jetzt nochmal, was du meinst.
EDIT: Ich habs verstanden, aber hab lange gebraucht, um das zu sehen. Also muss n gerade sein, damit da nicht 0 steht? Und das wars?
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Huhu,
> So, damit ich die Zusammenhänge verstehe.
>
> Das j ist der Laufindex und das n in der oberen
> Summationsgrenze ist das selbe wie in [mm](-1)^{n-j}?[/mm]
>
> Also kann ich mir vorstellen, dass das n fest wäre, also
> nicht beliebig?
Genau.
> EDIT: Ich habs verstanden, aber hab lange gebraucht, um das
> zu sehen. Also muss n gerade sein, damit da nicht 0 steht?
> Und das wars?
n muss gerade sein, damit da nicht Null steht.
Zeig das doch mal
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..würde ich gerne, aber wie soll man das zeigen? Kann man nicht einfach zwei Fälle machen, einmal für n gerade und dann für n ungerade? Aber wie schreibt man das auf? Ich mein, ich bin ja froh, dass ich das verstanden hab xD aber das jetzt zeigen. Kannst du mir vllt beim Ansatz etwas helfen?
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> Hmm..würde ich gerne, aber wie soll man das zeigen? Kann
> man nicht einfach zwei Fälle machen, einmal für n gerade
> und dann für n ungerade?
Ja, sowas nennt man Fallunterscheidung.
Ich geb dir mal nen Tip: Schreib die Summe doch mal aus für die ersten 10 n's
Dann bekommst du ne Idee, wie der Hase läuft.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Naja dann steht da das (ich habs einfach mal gemacht) ich seh aber nur, dass das jeweils eine Telekopsumme ist und bei geradem n bis auf 1 sich alle Summanden wegheben. Aber das reicht doch nicht als Beweis?
n = 0 : [mm] (-1)^{-j} [/mm] => 1
n = 1 : [mm] (-1)^{1-j} [/mm] => -1 +1
n = 2 : [mm] (-1)^{2-j} [/mm] => 1 -1 +1
n = 3 : [mm] (-1)^{3-j} [/mm] => -1 +1 -1 +1
n = 4 : [mm] (-1)^{4-j} [/mm] => 1-1 +1 -1 +1
n = 5 : [mm] (-1)^{5-j} [/mm] => -1 +1-1 +1 -1 +1
n = 6 : [mm] (-1)^{6-j} [/mm] => 1-1+1-1 +1 -1 +1
n = 7 : [mm] (-1)^{7-j} [/mm] => -1+1-1+1-1 +1 -1 +1
n = 8 : [mm] (-1)^{8-j} [/mm] => 1-1+1-1+1-1 +1 -1 +1
n = 9 : [mm] (-1)^{9-j} [/mm] => -1+1-1+1-1+1-1 +1 -1 +1
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> Naja dann steht da das (ich habs einfach mal gemacht) ich
> seh aber nur, dass das jeweils eine Telekopsumme ist und
> bei geradem n bis auf 1 sich alle Summanden wegheben. Aber
> das reicht doch nicht als Beweis?
Man muss auch nicht immer alle Schritte wirklich beweisen, es reicht einige auch zu begründen.
Und ja, die Begründung hast du erkannt, nämlich das egal für welches n sich zwei aufeinanderfolgende Summanden immer zu Null aufheben.
Daraus folgt sofort, dass für gerade n gilt:
[mm] $\summe_{j=0}^n (-1)^{n-j} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] * 0 = 0$
Für ungerade n ist ja n-1 gerade, d.h. da steht gerade:
[mm] $\summe_{j=0}^n (-1)^{n-j} [/mm] = [mm] $\summe_{j=0}^{n -1}(-1)^{n-j} [/mm] + [mm] (-1)^{n-n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{2} [/mm] * 0 + [mm] (-1)^0 [/mm] = 1$
Man könnte das natürlich auch komplett über vollständige Induktion beweisen. Das wäre hier aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hast du gerade und ungerade grad nicht vertauscht?
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Jap
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