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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Probe der DGL
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Probe der DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 24.01.2011
Autor: novex

Aufgabe
Bestimmen sie eine Lösung der DGL

[mm]y' = \wurzel{(1-y^2) (x-1)} [/mm] mit anfangswert (1,0)

Also... zuerst forme ich die gleichung um in folgende form

[mm]y' = f(x) * g(x) [/mm]

das sieht dann so aus :

[mm]y' = \wurzel{x-1} * \wurzel{1-y^2} [/mm]

Somit folgt  :
[mm]f(x) = \wurzel{x-1} [/mm]

und :
[mm]g(x) = \wurzel{1-y^2} [/mm]

[mm]F(x) = \integral_{1}^{x}{f(t) }dt} = \integral_{1}^{x}{\wurzel{t-1 dt}} = \bruch{2}{3} * (x-1)^{\bruch{3}{2}} [/mm]

[mm]G(x) = \integral_{0}^{x}{{\bruch{1}{g(t)} dt}} = \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{ \wurzel{1-t^2}} dt}} = \arcsin(x) [/mm]

dann das ganze in die Formel [mm] G(\phi (x) ) = F(x) [/mm] einsetzten :

[mm] \arcsin(\phi (x) ) = \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} [/mm]

aufgeöst nach [mm]\phi (x)[/mm]:

[mm]\phi (x) = \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) [/mm]

so das soll nun mal die gleichung sein .....

duch einsetzten von 1 :

[mm]\phi (1) = \sin ( \bruch{2}{3} (1-1)^{\bruch{3}{2}} ) = 0 [/mm]

stimmt das mit den anfangswerten schonmal....

nun aber prüfen ob die ausgangsgleichung so auch aufgeht :

[mm]\phi '(x) = \cos ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) * \wurzel{x-1} [/mm]

linke seite  : [mm]y ' = \phi ' (x)[/mm]

rechte seite : [mm]\wurzel{x-1} * \wurzel{1 - ( \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) ) ^2} [/mm]


also un nun sollte ja die rechte seite gleich der linken sein :-/

wie bekomme ich das [mm] 1-sin^2 [/mm]  so umgeformt das es gleich dem cosinus ist ? :-D

Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen ?

gruß noveX

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.







        
Bezug
Probe der DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Mo 24.01.2011
Autor: MathePower

Hallo novex,

> Bestimmen sie eine Lösung der DGL
>
> [mm]y' = \wurzel{(1-y^2) (x-1)}[/mm] mit anfangswert (1,0)
>  Also... zuerst forme ich die gleichung um in folgende form
>
> [mm]y' = f(x) * g(x)[/mm]
>  
> das sieht dann so aus :
>
> [mm]y' = \wurzel{x-1} * \wurzel{1-y^2}[/mm]
>  
> Somit folgt  :
> [mm]f(x) = \wurzel{x-1}[/mm]
>  
> und :
>  [mm]g(x) = \wurzel{1-y^2}[/mm]
>  
> [mm]F(x) = \integral_{1}^{x}{f(t) }dt} = \integral_{1}^{x}{\wurzel{t-1 dt}} = \bruch{2}{3} * (x-1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> [mm]G(x) = \integral_{0}^{x}{{\bruch{1}{g(t)} dt}} = \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{ \wurzel{1-t^2}} dt}} = \arcsin(x)[/mm]
>  
> dann das ganze in die Formel [mm]G(\phi (x) ) = F(x)[/mm] einsetzten
> :
>
> [mm]\arcsin(\phi (x) ) = \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> aufgeöst nach [mm]\phi (x)[/mm]:
>  
> [mm]\phi (x) = \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} )[/mm]


Das ist die Lösung für [mm]\vmat{y}\le 1, \ x \ge 1[/mm]

Wie gefordert, ist das eine Lösung. [ok]


>  
> so das soll nun mal die gleichung sein .....
>  
> duch einsetzten von 1 :
>
> [mm]\phi (1) = \sin ( \bruch{2}{3} (1-1)^{\bruch{3}{2}} ) = 0[/mm]
>  
> stimmt das mit den anfangswerten schonmal....
>  
> nun aber prüfen ob die ausgangsgleichung so auch aufgeht :
>
> [mm]\phi '(x) = \cos ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) * \wurzel{x-1}[/mm]
>  
> linke seite  : [mm]y ' = \phi ' (x)[/mm]
>  
> rechte seite : [mm]\wurzel{x-1} * \wurzel{1 - ( \sin ( \bruch{2}{3} (x-1)^{\bruch{3}{2}} ) ) ^2}[/mm]
>  
>
> also un nun sollte ja die rechte seite gleich der linken
> sein :-/
>  
> wie bekomme ich das [mm]1-sin^2[/mm]  so umgeformt das es gleich dem
> cosinus ist ? :-D


Es gilt der trigonometische Pythagoras:

[mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]


>
> Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen
> ?
>
> gruß noveX
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Probe der DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 24.01.2011
Autor: novex


> Es gilt der trigonometische Pythagoras:
>  
> [mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
>  
>
> >
> > Oder ist mir vorhher schon irgendwo ein fehler unterloffen
> > ?

> Gruss
>  MathePower

Mannnnnn o mannn :-) einfacher gehts ja gar nicht ^^ wie kann ich nur so blind sein .... xD

Danke schön....

gruß noveX


Bezug
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