Primzahlenverschlüsselung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 08.01.2008 | | Autor: | gs2006 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Kann mir jemand von Euch laienverständlich erklären, wie Primzahlencodierung bei der Verschlüsselung von Sicherheitssystemen funktioniert und warum insbesondere die Mersenne-Primzahlen dabei so eine Beachtung finden? Danke für jede Verständnishilfe.
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Hi
Vielleicht hilft dir das ein bisschen weiter: http://www.steffen-lebach.de/krypto.htm
ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Do 24.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
> Kann mir jemand von Euch laienverständlich erklären, wie
> Primzahlencodierung bei der Verschlüsselung von
> Sicherheitssystemen funktioniert und warum insbesondere die
> Mersenne-Primzahlen dabei so eine Beachtung finden?
damit meinst Du wahrscheinlich die RSA-Verschlüsselung, oder?
Welches Vorwissen hast Du denn?
Kannst Du was mit Eulerschem Satz, Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, ... anfangen? Eine Einführung in das Thema findest Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Mersenne-Primzahlen spielen deshalb eine wichtige Rolle für Kryptosysteme, dessen Sicherheit auf einer Primfaktorzerlegung basieren, da Mersenne-Primzahlen i.d.R. sehr groß sind.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > warum insbesondere die Mersenne-Primzahlen dabei so eine Beachtung finden?
> [...]
>
> Mersenne-Primzahlen spielen deshalb eine wichtige Rolle für
> Kryptosysteme, dessen Sicherheit auf einer
> Primfaktorzerlegung basieren, da Mersenne-Primzahlen i.d.R.
> sehr groß sind.
Das stimmt nicht wirklich: es gibt so wenige Mersenne-Primzahlen, dass man zu jedem $n [mm] \in \IN$, [/mm] welches in etwa so gross ist wie man das in kryptographischen Anwendungen heutzutage benutzt (sagen wir mal durch weniger als 10000 Bits darstellbar, also $< [mm] 2^{10000}$) [/mm] einfach alle Zahlen der Form [mm] $2^k [/mm] - 1$ (egal ob Mersenne-Primzahl oder nicht) durchgehen koennte und gucken koennte, ob es ein Teiler von $n$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Felix,
soweit ich mich entsinnen kann, werden Mersenne-Primzahlen benutzt, um mit Hilfe von Primzahltests sehr große Primzahlen zu finden. Ein anderer Grund würde mir auch nicht einfallen.
Oder was meinst Du ist der Zweck von Mersenne-Primzahlen in der Kryptographie?
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Sa 26.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex
> soweit ich mich entsinnen kann, werden Mersenne-Primzahlen
> benutzt, um mit Hilfe von Primzahltests sehr große
> Primzahlen zu finden. Ein anderer Grund würde mir auch
> nicht einfallen.
Genau, dafuer werden sie verwendet.
> Oder was meinst Du ist der Zweck von Mersenne-Primzahlen in
> der Kryptographie?
Aber nur weil man dadurch grosse Primzahlen erhaelt heisst das noch lange nicht dass sie auch in der Kryptographie verwendet werden. Dadurch dass sie von so einfacher Struktur sind, sind sie eigentlich nicht fuer die Kryptographie geeignet, zumindest nicht fuer RSA und Konsorten.
Ein moegliches Anwendungsfeld ist jedoch folgendes: wenn man mit einem Koerper [mm] $\IF_p$ [/mm] arbeiten moechte mit $p$ moeglichst einfach, dann sind Mersenne-Primzahlen sehr praktisch, da modulo $p$ in dem Fall bedeutet, dass man [mm] $2^n$ [/mm] durch $1$ ersetzt.
Und solche Koerper braucht man wieder in der Kryptographie, etwa wenn man mit (hyper-)elliptischen Kurven Kryptographie betreibt -- man nimmt die [mm] $\IF_p$-rationalen [/mm] Punkte einer elliptischen Kurve bzw. der Jakobischen einer hyperelliptischen Kurve als Gruppe, in der dann die eigentliche Krytpographie von statten geht -- oder wenn man multivariate Kryptosysteme betrachtet (Stichwort Groebnerbasen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Felix,
ich glaube, Du interpretierst in meinen ersten Post zuviel hinein. Ich habe dort nicht geschrieben, dass man die Mersenn-Primzahlen direkt für die zu faktorisierende Zahl verwendet, bitte beachte das.
Wie Du selbst weißt, muss man, um die Sicherheit zu "garantieren" beim RSA-Kryptosystem sehr große Primzahlen verwenden. Mersenne-Primzahlen werden m.W. für Primzahltest verwendet: Nach dem Betrandsche Postulat gibt es zwischen einer natürlichen Zahl n und 2n mind. eine Primzahl. Um die W'keit zu erhöhen kann man für n gleich einer Mersenne-Primzahl setzen. So habe ich das zumind. noch in Erinnerung und so ergibt es für mich auch Sinn.
LG
Alex
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