Primzahlen unabhängigF < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN, [/mm] a := [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] und P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \Omega [/mm] mit
P({k}) = [mm] \bruch{1}{a*k^2} [/mm] für k [mm] \in \IN. [/mm] Ferner sei [mm] \{p_n : n \in \IN\} [/mm] die Menge der Primzahlen und [mm] A_k [/mm] das Ereignis [mm] A_k [/mm] = {n [mm] \in \IN [/mm] : k teilt n} für k [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Bestimmen Sie [mm] P(A_k).
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass [mm] (A_{p_{n}})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge P-stochastisch unabhängiger Mengen ist.
c) Ist [mm] (A_{p_{n}})_{n \in \IN} [/mm] eine P-stochastisch unabhängige Familie?
d) Bestimmen Sie für n [mm] \in \IN [/mm] die Verteilung von
[mm] (X_1, [/mm] . . . [mm] ,X_n) [/mm] : [mm] \IN ->\{0, 1\}^n [/mm] unter P mit [mm] X_i(k) [/mm] := [mm] 1A_{p_{i}} [/mm] (k) für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. |
Hallo,
brauche Hilfe für die Aufgabe.
a)P({k}) = [mm] \bruch{1}{a*k^2}
[/mm]
P(1)= [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi^2}{6}*1^2} [/mm] = [mm] \bruch{6}{\pi^2}; [/mm] P(2)= [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi^2}{6}*2^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2\pi^2} [/mm] ; P(3)= [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi^2}{6}*3^2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3\pi^2} [/mm] ;
P(4)= [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi^2}{6}*4^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8\pi^2} [/mm] ; P(5)= [mm] \bruch{1}{\bruch{\pi^2}{6}*5^2} [/mm] = [mm] \bruch{6}{25\pi^2} [/mm] ;...
Wie kann ich jetzt auf [mm] P(A_k)= [/mm] kommen ?
b)Wie kann ich das Zeigen?
c)Versuche es mithilfe der Definition :
Eine Familie [mm] (x_{i})_{i \in I}) [/mm] von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] C, P) heißt unabhängig genau dann, wenn für alle endlichen [mm] I_0 \subseteq [/mm] I und sämtliche [mm] (a_{i})_{i \in I_0})
[/mm]
[mm] \in \IR^{I_0} [/mm] gilt: P [mm] [\bigcap_{i \in I_0}^{}\{x_i < a_i\}]= \produkt_{i \in I_0}^{} [/mm] P [mm] \{x_i < a_i \}. [/mm]
Bringt mich aber leider nicht weiter.
d)vielleicht sollte man den 1. Teil erst lösen :)
Hoffe ihr habt eine Idee.
Schönen Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 25.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
zu
a)
[mm] P(A_1)=1 [/mm] , den 1 teil immer [mm] \IN
[/mm]
[mm] P(A_2)=\bruch{2\ modulo\ n}{n} [/mm]
...
[mm] P(A_k)=\bruch{k\ modulo\ n}{n}
[/mm]
Das wird wohl stimmen vielleicht gibt's ja noch ein Tip zum Rest :).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Do 27.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> zu
> a)
> [mm]P(A_1)=1[/mm] , den 1 teil immer [mm]\IN[/mm]
Ja.
> [mm]P(A_2)=\bruch{2\ modulo\ n}{n}[/mm]
> ...
> [mm]P(A_k)=\bruch{k\ modulo\ n}{n}[/mm]
Was soll $n$ denn hier sein?
Und wie kommst du ueberhaupt darauf?
> Das wird wohl stimmen
Sicher nicht, es macht erstmal gar keinen Sinn weil da ein $n$ drinnen auftaucht.
> vielleicht gibt's ja noch ein Tip zum Rest :).
Erstmal solltest du a) geloest bekommen. Vorher macht es keinen Sinn, sich den Rest anzuschauen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 27.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo,
ok wie sieht's denn damit aus:
[mm] P(A_k)=\bruch{|\_\bruch{n}{k}\_|}{n}, [/mm] mit n,k [mm] \in \IN
[/mm]
z.B. k=3 n=9
[mm] P(A_3)=\bruch{|\_\bruch{9}{3}\_|}{9}=1/3=3/9
[/mm]
k=3 n=10
[mm] P(A_3)=\bruch{|\_\bruch{10}{3}\_|}{10}=3/10
[/mm]
Das haut doch hin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 27.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ok wie sieht's denn damit aus:
> [mm]P(A_k)=\bruch{|\_\bruch{n}{k}\_|}{n},[/mm] mit n,k [mm]\in \IN[/mm]
Das Ergebnis ist unabhaengig von $n$. Die Zahl $n$ hat nichts mit der Aufgabe zu tun.
Mal ganz elementar. Welche Zahlen in [mm] $\IN$ [/mm] sind durch $k$ teilbar? Das sind doch $k$, $2 k$, $3 k$, $4 k$, [mm] \dots. [/mm] Also ist [mm] $A_k [/mm] = [mm] \{ \ell k \mid \ell \in \IN \}$.
[/mm]
Jetzt musst du [mm] $P(A_k)$ [/mm] bestimmen. Benutz doch mal die [mm] $\sigma$-Additivitaet [/mm] vom Mass und beachte, dass [mm] $A_k [/mm] = [mm] \bigcup_{\ell \in \IN} \{ k \ell \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
[mm] A_k [/mm] = [mm] \{ n \in \IN : k\ teilt\ n \} [/mm] für k [mm] \in \IN [/mm] aus der Aufgabenstellung und
[mm] A_k [/mm] = [mm] \{ \ell k \mid \ell \in \IN \} [/mm]
> Das Ergebnis ist unabhaengig von [mm]n[/mm]. Die Zahl [mm]n[/mm] hat nichts
> mit der Aufgabe zu tun.
>
Verwirrt mich, da steht doch n in der Def. von [mm] A_k.
[/mm]
> Jetzt musst du [mm]P(A_k)[/mm] bestimmen. Benutz doch mal die
> [mm]\sigma[/mm]-Additivitaet vom Mass und beachte, dass [mm]A_k = \bigcup_{\ell \in \IN} \{ k \ell \}[/mm]
> ist.
[mm] A_k [/mm] = [mm] \bigcup_{\ell \in \IN} \{ k \ell \} [/mm] = [mm] \summe_{ l \in \IN}^{}{kl}
[/mm]
Das heißt für l=1
[mm] A_1=1
[/mm]
[mm] A_2=3
[/mm]
[mm] A_3=6
[/mm]
Vestehe nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Sa 29.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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