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Forum "Zahlentheorie" - Primzahlen in Z[i] reduzibel
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Primzahlen in Z[i] reduzibel: Summe von 2 quadraten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 So 10.09.2006
Autor: aaton

Hallo!
Ich möchte gern beweisen, dass primzahlen die in Z[i] reduzibel sind, als summe zweier quadrate darstellbar sind.

So weit bin ich gekommen:
P sei die in Z[i] reduzible Primzahl:
              p = (a + bi) (c + di)
              p = (ac - bd) + (ad+ bc)i
da p [mm] \in \IZ [/mm]  muss ad+bc = 0 sein

also [mm] \bruch{c}{a} [/mm] = - [mm] \bruch{d}{b} [/mm] = m ( sei mal m genannt)

Einsetzten => p = m (a + bi)(a - bi)
                       p = m ( [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] )

Wie beweise ich jetzt aber das m = 1 ist. Oder gibt es vielleicht einen ganz anderen und viel einfacheren ansatz?

danke
alex



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Primzahlen in Z[i] reduzibel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Mo 11.09.2006
Autor: DirkG

Denk nochmal dran, dass [mm]p[/mm] eine Primzahl ist!

Sollte [mm]m>1[/mm] sein, dann folgt aus dieser Primzahleigenschaft unweigerlich [mm]a^2+b^2=1[/mm] und damit [mm]a+bi\in \{1,-1,i,-i\}[/mm], alles Einheiten in [mm]\mathbb{Z}[i][/mm].


Bezug
                
Bezug
Primzahlen in Z[i] reduzibel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:13 Di 12.09.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Denk nochmal dran, dass [mm]p[/mm] eine Primzahl ist!
>  
> Sollte [mm]m>1[/mm] sein, dann folgt aus dieser Primzahleigenschaft
> unweigerlich [mm]a^2+b^2=1[/mm] und damit [mm]a+bi\in \{1,-1,i,-i\}[/mm],
> alles Einheiten in [mm]\mathbb{Z}[i][/mm].

Muesste er dafuer nicht erst zeigen, dass $m$ eine ganze Zahl ist?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Primzahlen in Z[i] reduzibel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Di 12.09.2006
Autor: DirkG

Ja Ok, da war ich wohl mit meinen Gedanken schon etwas voraus. ;-)

Sei [mm]g=\operatorname{ggT}(a,b)[/mm]. Mit [mm]a=ga',b=gb'[/mm] sind dann [mm]a',b'[/mm] teilerfremd, aus [mm]ga'd=ad=-bc=-gb'c[/mm] d.h. [mm]a'd=-b'c[/mm] folgt somit [mm]a'|c[/mm], mit [mm]c=ma'[/mm] und diesmal wirklich ganzzahligem [mm]m[/mm] ergibt sich auch [mm]d=-mb'[/mm], insgesamt dann
$$p = gm(a'^2+b'^2)$$
Und dann weiter so wie bei mir oben, nur diesmal mit [mm]gm>1[/mm] statt [mm]m>1[/mm] ...


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