Primring und Charakteristik < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 21.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Gib den Primring und die Charakteristik der folgenden Ringe an:
a) 3 [mm] \mathbb{Z}_{21} [/mm]
b) [mm] \mathbb{R}[x] [/mm]
c) [mm] \mathbb{Z}_{3}^{2 \times 2}
[/mm]
d) [mm] \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{10} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich das so richtig verstanden habe bzw. meine Überlegung stimmt:
Für die Charakteristik gilt ja:
[mm] \operatorname{char}(R)=\left\{\begin{array}{l}
0 \quad \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z}, \\
n \quad \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}
\end{array}\right.
[/mm]
a) Der Primring ist [mm] \mathbb{Z}_{21}, [/mm] da 3 [mm] \mathbb{Z}_{21} [/mm] ein Ideal von [mm] \mathbb{Z}_{21} [/mm] ist. Die Charakteristik ist 7, da 3 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] (\bmod [/mm] 21)
b) Der Ring [mm] \mathbb{R}[x] [/mm] ist der Ring der Polynome mit Koeffizienten in [mm] \mathbb{R}, [/mm] wobei der Primring isomorph zu [mm] \mathbb{Z} [/mm] ist, da [mm] \\mathbb{Z} [/mm] der kleinste Unterring von [mm] \mathbb{R} [/mm] ist, der 1 enthält. Daher ist die Charakteristik n=0.
c) Der Primring ist [mm] \mathbb{Z}_{3}, [/mm] und die Charakteristik ist 3.
d) Der Primring ist [mm] \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{10}, [/mm] und die Charakteristik ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Charakteristiken der beiden Ringe, also n=20.
Danke für hilfreiche Erklärung im Voraus!
LG Euler
"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mo 22.01.2024 | | Autor: | statler |
Hallo,
vielleicht könntest du noch ergänzen, wie bei euch Primring und Charakteristik definiert sind. Ich frage, weil einige deiner Ringe keine 1 haben oder keine Integritätsringe sind. Da ist diese Frage eher ungewöhnlich.
Üblicherweise ist die Charakteristik die Ordnung der 1 in der additiven Gruppe.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mo 22.01.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Hier das, was uns über den Primring gegeben ist:
Ist [mm] \Sigma \subseteq [/mm] R eine beliebige Teilmenge eines unitären Ringes mit 1 [mm] \in \Sigma, [/mm] so bezeichnet man mit [mm] R[\Sigma] [/mm] den kleinsten Unterring von R, der [mm] \Sigma [/mm] enthält. Wir nennen ihn den von der Teilmenge [mm] \Sigma [/mm] erzeugten Ring. Für [mm] \Sigma=\{1\} [/mm] erhält man den kleinstmöglichen unitären Unterring [mm] \mathbb{P} [/mm] von R, den Primring. Da jeder unitäre Ring mit dem Einselement auch die von ihm erzeugte additive zyklische Untergruppe umfasst, enthält er ein homomorphes Bild von [mm] \mathbb{Z}, [/mm] d. h. den Nullring, den Ring [mm] \mathbb{Z} [/mm] / n [mm] \mathbb{Z} [/mm] oder [mm] \mathbb{Z}. [/mm] Enthält er den Nullring, so ist er wegen (R4) gleich diesem.
Jeder unitäre Ring R [mm] \neq [/mm] 0 enthält einen Unterring [mm] \mathbb{P}, [/mm] der entweder zu [mm] \mathbb{Z} [/mm] oder zu [mm] \mathbb{Z} [/mm] / n [mm] \mathbb{Z} [/mm] isomorph ist.
Mit Hilfe des Primringes definiert man nun die Charakteristik eines unitären Ringes R [mm] \neq [/mm] 0 durch
[mm] \operatorname{char}(R)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z} \\
n & \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}
\end{array}\right.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mo 22.01.2024 | | Autor: | statler |
> Gib den Primring und die Charakteristik der folgenden Ringe
> an:
> a) 3 [mm]\mathbb{Z}_{21}[/mm]
> b) [mm]\mathbb{R}[x][/mm]
> c) [mm]\mathbb{Z}_{3}^{2 \times 2}[/mm]
> d) [mm]\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{10}[/mm]
>
Jetzt sehen wir etwas klarer!
>
> Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich das so richtig
> verstanden habe bzw. meine Überlegung stimmt:
>
> Für die Charakteristik gilt ja:
> [mm]\operatorname{char}(R)=\left\{\begin{array}{l}
0 \quad \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z}, \\
n \quad \text { wenn } \mathbb{P}=\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}
\end{array}\right.[/mm]
Das muß [mm] \mathbb{P} \cong \mathbb{Z} [/mm] usw. heißen.
>
> a) Der Primring ist [mm]\mathbb{Z}_{21},[/mm] da 3 [mm]\mathbb{Z}_{21}[/mm]
> ein Ideal von [mm]\mathbb{Z}_{21}[/mm] ist. Die Charakteristik ist
> 7, da 3 [mm]\cdot[/mm] 7 [mm]\equiv[/mm] 1 [mm](\bmod[/mm] 21)
Dieser Ring ist nicht unitär, deswegen zieht die Definition hier nicht. Außerdem ist 3 [mm]\cdot[/mm] 7 [mm]\equiv[/mm] 0 [mm](\bmod[/mm] 21)
> b) Der Ring [mm]\mathbb{R}[x][/mm] ist der Ring der Polynome mit
> Koeffizienten in [mm]\mathbb{R},[/mm] wobei der Primring isomorph
> zu [mm]\mathbb{Z}[/mm] ist, da [mm]\\mathbb{Z}[/mm] der kleinste Unterring
> von [mm]\mathbb{R}[/mm] ist, der 1 enthält. Daher ist die
> Charakteristik n=0.
Einverstanden.
> c) Der Primring ist [mm]\mathbb{Z}_{3},[/mm] und die Charakteristik
> ist 3.
Einverstanden.
> d) Der Primring ist [mm]\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{10},[/mm]
> und die Charakteristik ist das kleinste gemeinsame
> Vielfache der Charakteristiken der beiden Ringe, also
> n=20.
Auch einverstanden.
Gruß Dieter
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