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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Do 02.01.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jeder Körper K genau einen Primkörper enthält, dass also
[mm] \bigcap_{k \subset K Unterkoerper} [/mm] k
ein Primkörper ist und K keine weiteren Primkörper enthält. |
Hallo 
Stecke bei dieser Aufgabe ein wenig fest.
Also:
I) [mm] (\bigcap_{k \subset K Unterkoerper} [/mm] k):= [mm] P_{K} [/mm] ein Primkörper?
1.) Schnitt von Unterkörpern ein Körper?
1.1: [mm] (P_{K},+) [/mm] eine abelsche Gruppe:
Assoziativität und Kommutativität wird von K weitervererbt. 0 [mm] \in P_{K} [/mm] und -a [mm] \in P_{K}, \forall [/mm] a [mm] \in P_{K} \Rightarrow (P_{K},+) [/mm] abelsch
1.2: [mm] (P_{K}\backslash\{0\},*) [/mm] eine abelsche Gruppe:
Assoziativität und Kommutativität wird von K weitervererbt. 1 [mm] \in P_{K}, [/mm] sowie [mm] a^{-1} \in P_{K}, \forall [/mm] a [mm] \in P_{K}
[/mm]
1.3 Distributivität:
Von K weitervererbt
Also [mm] P_{K} [/mm] ein Körper
2.) [mm] P_{K} [/mm] Primkörper?
Zeige: [mm] \exists [/mm] U (Unterkörper) [mm] \in [/mm] K mit U [mm] \subseteq P_{K} \Rightarrow [/mm] U = [mm] P_{K}:
[/mm]
z.z. a [mm] \in P_{K} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] U, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in P_{K}
[/mm]
Annahme: Es gibt a [mm] \in P_{K} [/mm] mit a [mm] \not\in [/mm] U. Daraus folgt [mm] a^{-1} \not\in [/mm] U, da U ansonsten kein Körper.
Joah, und hier bleib ich irgendwie stecken Hat jemand einen Tipp?
LG
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Hi,
Ich vermute, ihr habt Primkörper so definiert, dass dieser in jedem anderen Unterkörper bereits enthalten ist? Naja, das folgt eigentlich unmittelbar. Ist k ein weiterer Unrerkörper, so wird der Durchschnitt in der Definition auch über die Menge, welche k zu Grunde liegt, gebildet, und somit ist dieser Durchschnitt in k enthalten.
Vergleiche diese Definition einmal mit der von "erzeugte Untergruppe" und "erzeugter Untervektorraum". Du wirst feststellen, dass dies dem "durch [mm] $\emptyset [/mm] $ erzeugten Unterkörper" entspricht. Diese Definition ist immer dasselbe und auch das Resultat "ist k ein weiterer Unterkörper, welcher [mm] "\emptyset" [/mm] enthält (also ein beliebiger), so gilt bereits [mm] $\langle\emptyset\rangle\subseteq [/mm] k $ ist immer dasselbe. Das Konzept funktioniert für beliebige algebraische Strukturen.
Beachte auch, dass ich hier schon etwas zum Konzept Primring/Primkörper geschrieben habe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hi,
fast. Mache es so:
> Behauptung: Sei [mm]P_{K} =\red{\bigcap_{k\text{Unterkörper} K}k} \subset K[/mm]. der kleinste Körper, der a
> enthält.
> Angenommen, es gibt einen kleineren Körper U [mm]\subseteq P_{K},[/mm]
> der a enthält. Aber es gilt: [mm]P_{K}[/mm] := [mm]\bigcap_{k \subset K Unterkoerper}[/mm]
> k,
> also U ist eines der k über denen geschnitten wird.
> Der Schnitt von U mit einer Menge kann nur kleiner oder
> gleich U sein. Also [mm]P_{K}= \bigcap_{k \subset K Unterkoerper}[/mm]
> k [mm]\subseteq[/mm] U
> Folglich U [mm]\subseteq P_{K} \subseteq[/mm] U, also [mm]P_{K}[/mm] = U
>
> Wäre das so ok?
> Und wie könnte man begründen, dass es keinen anderen
> Primkörper gibt?
Seien $P,P'$ zwei Primkörper. Es folgt unmittelbar aus der Definition, dass $P=P'$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Achso, vielen Dank für die Hilfe
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