Primitivwurzeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich probiere gerad ein bisschen mit Primitivwurzeln rum, von daher bin ich noch etwas unsicher. Von daher wäre es nett, wenn jemand meine folgende Rechnung überprüfen könnte.
Also ich möchte z.B. zeigen, dass [mm] G(4)\cong [/mm] Z(2) wobei G(4) die multiplikative Gruppe modulo 4 ist und Z(2) die zyklische Gruppe mit 2 Elementen bzgl. der Multiplikation.
Nun prüfe ich zuerst wie viele Elemente G(4) hat. Dazu nutze ich die Eulersche [mm] \Phi [/mm] -Funktion. Also [mm] \Phi(4)=2 [/mm] (Die Elemente sind 1 und 3).
Über Z(n) ist bekannt, dass Z von einem Element erzeugt wird, also wie folgt dargestellt werden kann: [mm] a^0, a^1, [/mm] ..., [mm] a^{n-1} [/mm] , wobei [mm] a^0=a^n=1 [/mm] (a ist das erzeugende Element). Zudem weiss ich, dass das a eine Primitivwurzel ist, also ein Element mit der Ordnung [mm] \Phi(4). [/mm] Nach dem Satz von Euler-Fermat gilt dann:
[mm] a^{\Phi(4)}=a^2\equiv [/mm] 1(mod 4)
Somit ist a=3 und es gilt:
[mm] 3^0\equiv [/mm] 1(mod 4)
[mm] 3^1\equiv [/mm] 3(mod 4)
[mm] 3^2\equiv [/mm] 1(mod 4)
[mm] 3^3\equiv [/mm] 3(mod 4)
Also erzeugt a tatsächlich Z(2) mit den Elementen 1 und 3.
Somit ist die gesuchte Isomorphie gezeigt.
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich probiere gerad ein bisschen mit Primitivwurzeln
> rum, von daher bin ich noch etwas unsicher. Von daher wäre
> es nett, wenn jemand meine folgende Rechnung überprüfen
> könnte.
>
> Also ich möchte z.B. zeigen, dass [mm]G(4)\cong[/mm] Z(2) wobei
> G(4) die multiplikative Gruppe modulo 4 ist und Z(2) die
> zyklische Gruppe mit 2 Elementen bzgl. der Multiplikation.
>
> Nun prüfe ich zuerst wie viele Elemente G(4) hat. Dazu
> nutze ich die Eulersche [mm]\Phi[/mm] -Funktion. Also [mm]\Phi(4)=2[/mm] (Die
> Elemente sind 1 und 3).
Um genau zu sein, bist du jetzt schon fertig: da $2$ eine Primzahl ist, ist jede Gruppe der Ordnung 2 isomorph zu $Z(2)$.
> Über Z(n) ist bekannt, dass Z von einem Element erzeugt
> wird, also wie folgt dargestellt werden kann: [mm]a^0, a^1,[/mm]
> ..., [mm]a^{n-1}[/mm] , wobei [mm]a^0=a^n=1[/mm] (a ist das erzeugende
> Element). Zudem weiss ich, dass das a eine Primitivwurzel
> ist, also ein Element mit der Ordnung [mm]\Phi(4).[/mm] Nach dem
> Satz von Euler-Fermat gilt dann:
>
> [mm]a^{\Phi(4)}=a^2\equiv[/mm] 1(mod 4)
Ja, das folgt aber auch schon daraus, dass eine Primitivwurzel Ordnung [mm] $\Phi(4)$ [/mm] hat.
> Somit ist a=3 und es gilt:
> [mm]3^0\equiv[/mm] 1(mod 4)
> [mm]3^1\equiv[/mm] 3(mod 4)
> [mm]3^2\equiv[/mm] 1(mod 4)
> [mm]3^3\equiv[/mm] 3(mod 4)
>
> Also erzeugt a tatsächlich Z(2) mit den Elementen 1 und
> 3.
Was auch zu erwarten war 
In einer Gruppe von Primzahlordnung erzeugt jedes Element (ungleich des Neutralen) die Gruppe, ist also ein primitives Element.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:04 Do 30.09.2010 | | Autor: | piccolo1986 |
> Moin!
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> > Hallo, ich probiere gerad ein bisschen mit Primitivwurzeln
> > rum, von daher bin ich noch etwas unsicher. Von daher wäre
> > es nett, wenn jemand meine folgende Rechnung überprüfen
> > könnte.
> >
> > Also ich möchte z.B. zeigen, dass [mm]G(4)\cong[/mm] Z(2) wobei
> > G(4) die multiplikative Gruppe modulo 4 ist und Z(2) die
> > zyklische Gruppe mit 2 Elementen bzgl. der Multiplikation.
> >
> > Nun prüfe ich zuerst wie viele Elemente G(4) hat. Dazu
> > nutze ich die Eulersche [mm]\Phi[/mm] -Funktion. Also [mm]\Phi(4)=2[/mm] (Die
> > Elemente sind 1 und 3).
>
> Um genau zu sein, bist du jetzt schon fertig: da [mm]2[/mm] eine
> Primzahl ist, ist jede Gruppe der Ordnung 2 isomorph zu
> [mm]Z(2)[/mm].
>
> > Über Z(n) ist bekannt, dass Z von einem Element erzeugt
> > wird, also wie folgt dargestellt werden kann: [mm]a^0, a^1,[/mm]
> > ..., [mm]a^{n-1}[/mm] , wobei [mm]a^0=a^n=1[/mm] (a ist das erzeugende
> > Element). Zudem weiss ich, dass das a eine Primitivwurzel
> > ist, also ein Element mit der Ordnung [mm]\Phi(4).[/mm] Nach dem
> > Satz von Euler-Fermat gilt dann:
> >
> > [mm]a^{\Phi(4)}=a^2\equiv[/mm] 1(mod 4)
>
> Ja, das folgt aber auch schon daraus, dass eine
> Primitivwurzel Ordnung [mm]\Phi(4)[/mm] hat.
>
> > Somit ist a=3 und es gilt:
> > [mm]3^0\equiv[/mm] 1(mod 4)
> > [mm]3^1\equiv[/mm] 3(mod 4)
> > [mm]3^2\equiv[/mm] 1(mod 4)
> > [mm]3^3\equiv[/mm] 3(mod 4)
> >
> > Also erzeugt a tatsächlich Z(2) mit den Elementen 1 und
> > 3.
>
> Was auch zu erwarten war
>
> In einer Gruppe von Primzahlordnung erzeugt jedes Element
> (ungleich des Neutralen) die Gruppe, ist also ein
> primitives Element.
>
> LG Felix
>
Nun möchte ich beweisen, dass [mm] G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}), [/mm] wobei p eine Primzahl ist und [mm] p\ge [/mm] 3.
Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter der Nutzung von [mm] \Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}. [/mm] Den Zusammenhang für [mm] \Phi(p^{e}) [/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich, dass für [mm] p^{e} [/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen. Kann mir da jemand helfen bitte.
mfg piccolo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
>
> Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> Kann mir da jemand helfen bitte.
Ich hatte dir hier schonmal eine Anleitung dazu aufgeschrieben.
Hast du sie auch mal probiert? Wenn nicht: dann mal los! Wenn doch: warum sagst du nicht wo du Probleme hast?
LG Felix
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> Moin!
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> > Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> > wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
> >
> > Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> > ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> > der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> > für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> > dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> > komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> > Kann mir da jemand helfen bitte.
>
> Ich hatte dir hier
> schonmal eine Anleitung dazu aufgeschrieben.
>
> Hast du sie auch mal probiert? Wenn nicht: dann mal los!
> Wenn doch: warum sagst du nicht wo du Probleme hast?
>
> LG Felix
>
Das Problem daran ist, dass ich einige Begriffe nicht kenne (z.B. Integritätsring), bzw. diese nicht in dem Buch in dem ich gerade lese aufgeführt wurden, daher würde ich es lieber nach dem Vorschlag dort versuchen zu lösen.
Ansonsten hab ich das mit dem [mm] \alpha [/mm] + [mm] p^{e} [/mm] nicht so recht verstanden.
Wäre schön, wenn du das ansonsten noch etwas ausführlicher erklären könntest oder evtl. auf die Art, wie ich es ursprünglich machen wollte.
mfg piccolo
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> > Moin!
> >
> > > Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> > > wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
> > >
> > > Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> > > ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> > > der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> > > für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> > > dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> > > komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> > > Kann mir da jemand helfen bitte.
> >
Hey, hab mir jetzt nochmal was zu dem Beweis überlegt.
Die Gruppe [mm] G(p^{e}) [/mm] hat ja nun [mm] \Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1} [/mm] Elemente, bzw. dies ist die Gruppenordnung. Nun weiss ich aber auch, dass für [mm] p^{e} [/mm] Primitivwurzeln existieren, da [mm] p\ge [/mm] 3.
Andererseits ist [mm] Z(p^{e}-p^{e-1}) [/mm] ja die zyklische Gruppe mit [mm] p^{e}-p^{e-1} [/mm] Elementen, also stimmt die Anzahl der Elemente schonmal. Da die Gruppe zyklisch ist, muss es ein a Element geben, welches die gesamte Gruppe [mm] Z(p^{e}-p^{e-1})Gruppe [/mm] durch die Potenzen [mm] a^0, a^1, [/mm] ... , [mm] a^{^p^{e}-p^{e-1}-1} [/mm] erzeugt.
Diese Element ist nun die existierende Primitvwurzel von [mm] G(p^{e}).
[/mm]
Kann man dies so begründen?? Oder ist etwas grundlegend falsch, bzw. fehlt noch ne Kleinigkeit?
mfg
piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 03.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> > > > wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
> > > >
> > > > Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> > > > ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> > > > der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> > > > für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> > > > dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> > > > komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> > > > Kann mir da jemand helfen bitte.
> > >
>
>
> Hey, hab mir jetzt nochmal was zu dem Beweis überlegt.
> Die Gruppe [mm]G(p^{e})[/mm] hat ja nun [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}[/mm]
> Elemente, bzw. dies ist die Gruppenordnung. Nun weiss ich
> aber auch, dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren, da
> [mm]p\ge[/mm] 3.
Wenn du es weisst, und es nicht zeigen musst, dann hast du die Isomorphie geschenkt.
Wenn du es noch beweisen musst, ist es das gleiche als wenn du zeigst, dass es einen Isomorphismus gibt.
> Andererseits ist [mm]Z(p^{e}-p^{e-1})[/mm] ja die zyklische Gruppe
> mit [mm]p^{e}-p^{e-1}[/mm] Elementen, also stimmt die Anzahl der
> Elemente schonmal. Da die Gruppe zyklisch ist,
Welche Gruppe? [mm] $Z(p^e [/mm] - [mm] p^{e-1})$? [/mm] Oder [mm] $G(p^e)$?
[/mm]
> muss es ein
> a Element geben, welches die gesamte Gruppe
> [mm]Z(p^{e}-p^{e-1})Gruppe[/mm] durch die Potenzen [mm]a^0, a^1,[/mm] ... ,
> [mm]a^{^p^{e}-p^{e-1}-1}[/mm] erzeugt.
Also in [mm] $Z(p^e [/mm] - [mm] p^{e-1})$ [/mm] schaust du dir keine Potenzen an, sondern Vielfache!
In [mm] $G(p^e)$ [/mm] schaust du dir Potenzen an. Aber da musst du doch gerade zeigen, dass es ein solches Element $a$ gibt!
> Diese Element ist nun die existierende Primitvwurzel von
> [mm]G(p^{e}).[/mm]
Es ist nicht die Primitivwurzel, sondern eine Primitivwurzeln. Es gibt normalerweise viele davon. (Genauer: [mm] $\phi(\phi(p^e)) [/mm] = [mm] \phi(p^e [/mm] - [mm] p^{e-1})$ [/mm] Stueck.)
> Kann man dies so begründen?? Oder ist etwas grundlegend
> falsch, bzw. fehlt noch ne Kleinigkeit?
Das war keine Begruendung.
LG Felix
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> Moin!
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> > > > > Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> > > > > wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
> > > > >
> > > > > Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> > > > > ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> > > > > der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> > > > > für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> > > > > dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> > > > > komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> > > > > Kann mir da jemand helfen bitte.
> > > >
> >
> >
> > Hey, hab mir jetzt nochmal was zu dem Beweis überlegt.
> > Die Gruppe [mm]G(p^{e})[/mm] hat ja nun
> [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}[/mm]
> > Elemente, bzw. dies ist die Gruppenordnung. Nun weiss ich
> > aber auch, dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren, da
> > [mm]p\ge[/mm] 3.
>
> Wenn du es weisst, und es nicht zeigen musst, dann hast du
> die Isomorphie geschenkt.
>
> Wenn du es noch beweisen musst, ist es das gleiche als wenn
> du zeigst, dass es einen Isomorphismus gibt.
>
> > Andererseits ist [mm]Z(p^{e}-p^{e-1})[/mm] ja die zyklische Gruppe
> > mit [mm]p^{e}-p^{e-1}[/mm] Elementen, also stimmt die Anzahl der
> > Elemente schonmal. Da die Gruppe zyklisch ist,
>
> Welche Gruppe? [mm]Z(p^e - p^{e-1})[/mm]? Oder [mm]G(p^e)[/mm]?
>
Ich meine [mm] Z(p^e [/mm] - [mm] p^{e-1}) [/mm] , weil das ja die zyklische Gruppe mit [mm] p^e [/mm] - [mm] p^{e-1} [/mm] nach Voraussetzung ist.
> > muss es ein
> > a Element geben, welches die gesamte Gruppe
> > [mm]Z(p^{e}-p^{e-1})Gruppe[/mm] durch die Potenzen [mm]a^0, a^1,[/mm] ... ,
> > [mm]a^{^p^{e}-p^{e-1}-1}[/mm] erzeugt.
>
> Also in [mm]Z(p^e - p^{e-1})[/mm] schaust du dir keine Potenzen an,
> sondern Vielfache!
>
Hierzu hätte ich eine kurze Frage, unzwar warum schaue ich mir die Vielfachen an? Z(n) soll die zyklische Gruppe bzgl. der entsprechenden Multiplikation sein. Muss ich da nicht die Potenzen nehmen?? von daher verstehe ich das mit dem [mm] \alpha +p^{e} [/mm] nicht, die ich in dem Induktionsbeweis benutzen soll.
> In [mm]G(p^e)[/mm] schaust du dir Potenzen an. Aber da musst du doch
> gerade zeigen, dass es ein solches Element [mm]a[/mm] gibt!
>
> > Diese Element ist nun die existierende Primitvwurzel von
> > [mm]G(p^{e}).[/mm]
>
> Es ist nicht die Primitivwurzel, sondern eine
> Primitivwurzeln. Es gibt normalerweise viele davon.
> (Genauer: [mm]\phi(\phi(p^e)) = \phi(p^e - p^{e-1})[/mm] Stueck.)
>
> > Kann man dies so begründen?? Oder ist etwas grundlegend
> > falsch, bzw. fehlt noch ne Kleinigkeit?
>
> Das war keine Begruendung.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > > Nun möchte ich beweisen, dass [mm]G(p^e)\cong Z(p^{e}-p^{e-1}),[/mm]
> > > > > > wobei p eine Primzahl ist und [mm]p\ge[/mm] 3.
> > > > > >
> > > > > > Da steht im Buch von Niven und Zuckerman, dass dies
> > > > > > ebenfalls über Primitivwurzeln funktioniert, sowie unter
> > > > > > der Nutzung von [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}.[/mm] Den Zusammenhang
> > > > > > für [mm]\Phi(p^{e})[/mm] bekomm ich auch bewiesen. Zudem weiss ich,
> > > > > > dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren müssen. Nur
> > > > > > komm ich jetzt nicht weiter um den Isomophismus zu zeigen.
> > > > > > Kann mir da jemand helfen bitte.
> > > > >
> > >
> > >
> > > Hey, hab mir jetzt nochmal was zu dem Beweis überlegt.
> > > Die Gruppe [mm]G(p^{e})[/mm] hat ja nun
> > [mm]\Phi(p^{e})=p^{e}-p^{e-1}[/mm]
> > > Elemente, bzw. dies ist die Gruppenordnung. Nun weiss ich
> > > aber auch, dass für [mm]p^{e}[/mm] Primitivwurzeln existieren, da
> > > [mm]p\ge[/mm] 3.
> >
> > Wenn du es weisst, und es nicht zeigen musst, dann hast du
> > die Isomorphie geschenkt.
> >
> > Wenn du es noch beweisen musst, ist es das gleiche als wenn
> > du zeigst, dass es einen Isomorphismus gibt.
> >
> > > Andererseits ist [mm]Z(p^{e}-p^{e-1})[/mm] ja die zyklische Gruppe
> > > mit [mm]p^{e}-p^{e-1}[/mm] Elementen, also stimmt die Anzahl der
> > > Elemente schonmal. Da die Gruppe zyklisch ist,
> >
> > Welche Gruppe? [mm]Z(p^e - p^{e-1})[/mm]? Oder [mm]G(p^e)[/mm]?
> >
>
> Ich meine [mm]Z(p^e[/mm] - [mm]p^{e-1})[/mm] , weil das ja die zyklische
> Gruppe mit [mm]p^e[/mm] - [mm]p^{e-1}[/mm] nach Voraussetzung ist.
Ah, und du schreibst sie offenbar multiplikativ:
> Hierzu hätte ich eine kurze Frage, unzwar warum schaue ich
> mir die Vielfachen an? Z(n) soll die zyklische Gruppe bzgl.
> der entsprechenden Multiplikation sein. Muss ich da nicht
> die Potenzen nehmen??
Wenn du die Gruppe multiplikativ aufpasst, dann ist es ok.
> von daher verstehe ich das mit dem
> [mm]\alpha +p^{e}[/mm] nicht, die ich in dem Induktionsbeweis
> benutzen soll.
Das ist ein Element aus [mm] $\IZ/p^e\IZ$. [/mm] Das ist ein Ring und dort hast du Addition und Multiplikation.
Und in diesem Ring musst du schliesslich eine Primitivwurzel konstruieren!
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 02.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 03.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Dass $G(n)$ isomorph zu [mm] $Z(\phi(n))$ [/mm] ist bedeutet gerade, dass [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] eine Primitivwurzel hat!
Du kannst also nicht Primitivwurzeln "benutzen", sondern musst sie konstruieren.
Ich hab dir skizziert, wie das geht. Wenn du bestimmte Begriffe nicht kennst, frag nach. (Bzw. such erstmal selber im Netz!) Und wenn du irgendwo nicht weiterkommst, dann sag wie du dahin gekommen bist und woran du scheiterst.
LG Felix
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