Primideale; maximalen Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 26.11.2008 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie alle maximalen Ideale und alle Primideale in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] (n [mm] \in \IN, n\ge [/mm] 2)
b) Bestimmen Sie alle maximalen Ideale und alle Primideale In [mm] \IC[x] [/mm] |
Hallo zusammen,
habe ein paar Probleme mit diesen beiden Aufgaben.
Meine bisherigen Überlegungen:
zu a) für n=p Primzahl ist [mm] \IZ/\n\IZ [/mm] ein Körper, also die einzigen Ideale sind [mm] I_1=\{ \overline{0} \} [/mm] und [mm] I_2=\IZ/n\IZ [/mm] die einzigen Ideale. Somit wäre [mm] I_1=\{ \overline{0} \} [/mm] maximal und auch prim. richtig?
Aber was wenn n nicht primzahl ist? wie gehe ich da vor? viell. mithilfe des chinesischen Restsatztes? oder geht das einfacher/besser??
zu b)
[mm] \IC[x] [/mm] ist Hautidealring, also sind die Primelemente genau die irreduziblen Elemente. nun ist [mm] \IC [/mm] algebraisch abgeschlossen. also lässt sich jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren zerlegen. Also wären die Primideale gerade die Polynome vom Grad 1. richtig?
wie komme ich nun an die maximalen Ideale
Bin mir hier bei den gemachten Aussagen nicht ganz so sicher!
Hoffe jemand kann helfen!
liebe güße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 Do 27.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo kittie
> zu a) für n=p Primzahl ist [mm]\IZ/\n\IZ[/mm] ein Körper, also die
> einzigen Ideale sind [mm]I_1=\{ \overline{0} \}[/mm] und
> [mm]I_2=\IZ/n\IZ[/mm] die einzigen Ideale. Somit wäre [mm]I_1=\{ \overline{0} \}[/mm]
> maximal und auch prim. richtig?
> Aber was wenn n nicht primzahl ist? wie gehe ich da vor?
> viell. mithilfe des chinesischen Restsatztes? oder geht das
> einfacher/besser??
Die Bestimmung der Ideale in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ist etwas kniffliger. Hier musst du ausnutzen, dass es eine bijektive Abbildung [mm] \psi [/mm] zwischen den Idealen von [mm] \IZ, [/mm] die [mm] n\IZ [/mm] als Teilmenge enthalten, und den Idealen von [mm] \IZ/n\IZ [/mm] gibt. (entsprechend bijektive Abb. zwischen max. bzw Primidealen)
Welche Ideale erfüllen nun diese Bedingung? Das sind gerade die Ideale (m) aus [mm] \IZ [/mm] mit m teilt n. Hier sieht man bereits, dass für n=p Primzahl es nur die Ideale (1) und (p) gibt.
Die Abbildung von oben lautet dann folgendermaßen:
Sei I Ideal in [mm] \IZ [/mm] mit [mm] (n)\subset [/mm] I
[mm] \psi: I\mapsto\{a+(n), a\in I\}
[/mm]
Beispiel: Gesucht Primideale von [mm] \IZ/6\IZ
[/mm]
Erstmal Ideale in [mm] \IZ/6\IZ [/mm] bestimmen:
(6) [mm] \subset \IZ [/mm] enthält die Ideale (1),(2),(3),(6)
[mm] (2)\mapsto\{a+(6), a\in(2)\}=(2+(6))= (\overline{2}) [/mm] (in [mm] \IZ/6\IZ)
[/mm]
[mm] (3)\mapsto (\overline{3})
[/mm]
[mm] (6)=(0)\mapsto(\overline{0})
[/mm]
[mm] (1)\mapsto(\overline{1})
[/mm]
Von den vier Idealen aus [mm] \IZ [/mm] sind (2),(3) Primideale in [mm] \IZ( [/mm] da [mm] \IZ/(2) [/mm] und [mm] \IZ/(3) [/mm] Körper sind) und damit sind [mm] (\overline{2}), (\overline{3}) [/mm] die Primideale in [mm] \IZ/6\IZ. [/mm]
Gibt sicher auch ne andere (einfachere) Methode, aber die fällt mir momentan nicht ein ;).
> [mm]\IC[x][/mm] ist Hautidealring, also sind die Primelemente genau
> die irreduziblen Elemente. nun ist [mm]\IC[/mm] algebraisch
> abgeschlossen. also lässt sich jedes komplexe Polynom in
> Linearfaktoren zerlegen. Also wären die Primideale gerade
> die Polynome vom Grad 1. richtig?
Im Hauptidealring kannst du nun ausnutzen, dass p prim äquivalent zu (p) ist maximales Ideal. Du hast richtig gesagt, die Primelemente von [mm] \IC[X] [/mm] sind gerade die Polynome ersten Grades. Folglich sind alle Ideale der Form (aX+b), [mm] a,b\in \IC [/mm] maximale Ideale in [mm] \IC[X] [/mm] und dementsprechend auch Primideale. Es gilt natürlich auch p prim [mm] \gdw [/mm] (p) Primideal.
LG
Christian
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