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| Aufgabe | | Geben Sie die Primfaktorzerlegung des Polynoms [mm] \ X^3 + \ 4X^2 + \ 64 \in \ F_7_3 \ [ X \ ] [/mm] an, wobei [mm] \ F_7_3 [/mm] den Körper mit 73 Elementen bezeichnet (Die ganzzahligen Koeffizienten 4, 64... sind als Restklassen modulo 73 aufzufassen). |
Guten Morgen!
Ich habe durch Probieren und mit Hilfe von PD das Polynom schon zu (x+3)* [mm] (x^2+x-3) [/mm] zerlegt. Ich weiß jetzt aber nicht so genau, wie es weitergehen soll. Irgendwie finde ich keine weitere Zerlegungsmöglichkeit Kann mir vielleicht bitte jemand weiterhelfen?
Danke schonmal,
Maren
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 01.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Maren
Wenn [mm] $x^2+x-3$ [/mm] ein reelles Polynom wäre, würdest du doch die Nullstellen berechnen um zu schauen, ob es reell weiter zerlegbar ist. Das machst du hier genau gleich. Mit der Auflösungsformel erhält man die Nullstellen
[mm] $x_{1/2}= \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, [/mm] da 13 kein quadratischer Rest ist Modulo 73 (das kann man mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz nachweisen), besitzt das Polynom Modulo 73 keine Nullstellen und ist somit irreduzibe.
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Fr 02.02.2007 | | Autor: | frustriert |
Alles klar! Vielen Dank!
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