Primfaktorzerlegung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | Bestimme die Primfaktorzerlegung von [mm] x^4-2 \in \IZ[X] [/mm] in
(i) [mm] \IZ[X]
[/mm]
(ii) [mm] \IQ[X] [/mm] |
Ich habe 2 komplexe Nullstellen und zwei aus den irrationalen Zahlen. Ist eine Primfaktorzerlegung überhaupt möglich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Nachmittag,
um es kurz zu machen: meiner Ansicht nach nicht, d.h. genauer:
[mm] p(x)=x^4-2 [/mm] ist nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades ueber [mm] \IZ [/mm] bzw [mm] \IQ
[/mm]
darstellbar.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
meiner Meinung nach ja eben auch nicht.... bloss was soll dann die Fragestellung?
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Hallo nochmal,
keine Ahnung, vielleicht war es ja ein Versehen des Aufgabenstellers.
Aber das Argument hast Du ja schon geliefert: Es gibt in [mm] \IC [/mm] die Nullstellen
[mm] \sqrt{2},\: \sqrt{2}\cdot i,-\sqrt{2}\cdot [/mm] i, [mm] -\sqrt{2}
[/mm]
und damit keine in [mm] \IZ [/mm] und keine in [mm] \IQ [/mm] (als Polynom vom Grad 4 kann es nur 4 Nullst. in [mm] \IC [/mm] haben).
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich glaube es geht um folgendes: [mm] \IQ[X] [/mm] ist ein Hauptidealring, also entsprechen die irreduziblen Elemente hier den Primelementen. In [mm] \IZ[X] [/mm] ist das, da das kein Hauptidealring ist, nicht zwangsmässig der Fall. Andererseits weiß ich nun aber trotzdem nicht, ob oder wie ich es in [mm] \IZ[X] [/mm] eventuell zerlegen könnte. Dh. ich würde wie gehabt über die Nullstellen argumentieren, dass es nicht zerlegbar ist. Aber ist es das, was man machen soll?
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Hallo nochmal,
dem ''Lang'' entnehme ich als Nicht-Algebraiker:
R heisst ''factorial ring'' gdw R nullteilerfrei und jedes [mm] x\neq [/mm] 0 hat eine eindeutige Zerlegung
in irreduzible Elemente. Dort heissen dann die irreduziblen Elemente, da sie Primideale erzeugen,
Primelemente. Jedenfalls sind es aber genau die irreduziblen, und das Argument fuer Irreduziblitaet
ist das ueber die Nullstellen.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 07.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Danke :) So ganz passt das allerdings immer noch nicht, da wie gesagt [mm] \IZ[X] [/mm] kein Hauptidealring und auch kein faktorieller Ring ist. Aber zerlegbar ist es eben trotzdem nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Di 07.03.2006 | | Autor: | cycilia |
AHHHHHHHHHHH, jetzt versteh ich so langsam..... dh. in diesem Fall, da es in [mm] \IQ[X] [/mm] unzerlegbar ist, ebenso in [mm] \IZ[X] [/mm] mit gleicher Primfaktorzerlegung.
Hätte ich das Polynom [mm] 4X^4-2 [/mm] dann wäre die Zerlegung unterschiedlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> AHHHHHHHHHHH, jetzt versteh ich so langsam..... dh. in
> diesem Fall, da es in [mm]\IQ[X][/mm] unzerlegbar ist, ebenso in
> [mm]\IZ[X][/mm] mit gleicher Primfaktorzerlegung.
Genau!
> Hätte ich das Polynom [mm]4X^4-2[/mm] dann wäre die Zerlegung
> unterschiedlich?
Ja. In [mm] $\IZ[X]$ [/mm] kannst du es als $2 [mm] \cdot [/mm] (2 [mm] X^4 [/mm] - 1)$ zerlegen ($2 [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] ist ja keine Einheit!), in [mm] $\IQ$ [/mm] ist es jedoch irreduzibel da $2$ dort eine Einheit ist!
LG Felix
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