Prime Restklassengruppe mod m < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 04.08.2010 | | Autor: | duda |
| Aufgabe | | Für welche Moduln m hat die prime Restklassengruppe modulo m die Ordnung 8, den Exponenten 8? |
hallo zusammen,
und zwar komme ich bei dieser aufgabe nicht weiter - hab zwar einen ansatz ausprobiert, mehr kriege ich auch nicht hin.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. :)
also mein anstatz - weiß allerdings auch nicht, ob der richtig ist und ob man überhaupt was damit anfangen kann:
exponent von ([mm]\IZ[/mm]/m[mm]\IZ[/mm])* = 8:
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle primzahlen, p ungerade, die in der primfaktorzerlegung auftauchen, gilt:
[mm] (p-1)p^{n-1}|8 \gdw [/mm] n = 1: p-1 = 2, 4. [mm] \Rightarrow [/mm] p = 3, 5.
also ist der exponent von ([mm]\IZ[/mm]/m[mm]\IZ[/mm])* = 8 [mm] \gdw {2^{5}, 2^{5}*3, 2^{5}*5, 2^{5}*3*5}
[/mm]
ferner gilt:
[mm]\varphi[/mm](m) = [mm] \produkt[/mm] [mm]\varphi[/mm] [mm] (p_i)*p^{n_i-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\varphi[/mm](m) = 8 [mm] \gdw [/mm] m [mm] \in {{2^{4}, 3*2^{3}, 5*2^{2}, 3*5}}
[/mm]
ehrlich gesagt weiß ich auch garnicht was ich jetzt damit schlußfolgern könnte oder sonstiges?!?!
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Do 05.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Ich finde deine Lösung richtig. Je nach dem was ihr hattet, kann es natürlich sein, dass Du in einzelnen Schritten mehr machen musst aber die Antwort ist richtig. Was ist Dir denn unklar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 05.08.2010 | | Autor: | duda |
ich habe die aufgabe versucht, zusammen mit meinem freund zu lösen und irgendwie ist mir dieser schritt ganz unklar:
... [mm] \gdw {2^{5}, 2^{5}*3, 2^{5}*5, 2^{5}*3*5}
[/mm]
irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf die exponenten kommt und allgemein die faktoren in der geschweiften klammer?!? hängt das vlt damit zusammen, dass ich p = 3, 5 für n = 1 heraus bekommen habe? aber auch da fehlt mir die erklärung zum zusammenhang... ;( und überhaupt, wieso sind es 4 zahlen in der geschweiften klammer - hätten es auch mehr seien können?
ich hoffe, du verstehst, was ich meine ;S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 05.08.2010 | | Autor: | PeterB |
> ich habe die aufgabe versucht, zusammen mit meinem freund
> zu lösen und irgendwie ist mir dieser schritt ganz unklar:
>
> ... [mm]\gdw {2^{5}, 2^{5}*3, 2^{5}*5, 2^{5}*3*5}[/mm]
>
Du weißt, dass [mm] $(\mathbb{Z}/n\mathbb Z)^\times=\prod (\mathbb{Z}/p^{n_p}\mathbb Z)^\times$ [/mm] mit [mm] $n=\prod p^{n_p}$ [/mm] ist. Daher folgt: Der Exponent von [mm] $(\mathbb{Z}/n\mathbb Z)^\times$ [/mm] ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Exponenten von [mm] $(\mathbb{Z}/p^{n_p}\mathbb Z)^\times$. [/mm] Diese Gruppen sind für ungerade p aber zyklisch, der Exponent ist also die Ordnung der Gruppe nämlich [mm] $\phi(p^n)=p^{n-1}(p-1)$ [/mm] Da in Deinem konkreten Fall der Exponent 8 teilen muss folgt [mm] $p\in\{3,5\}$ [/mm] und [mm] $n_p=1$. [/mm] Fehlt noch die Zweierpotenz, die n teilt, aber dabei stellen wir fest, das der Exponent von [mm] $(\mathbb{Z}/2^{n_2}\mathbb Z)^\times$ [/mm] genau 8 sein muss, da sonst die gesamte Gruppe einen kleineren Exponenten als 8 (d.h. einen echten Teiler davon) hätte. Nun muss man wissen dass [mm] $(\mathbb{Z}/2^{n_2}\mathbb Z)^\times$ [/mm] im allgemeinen nicht zyklisch ist, genauer ist der Exponent [mm] $2^{n_2-2}$ [/mm] für [mm] $n_2\geq [/mm] 3$. Damit folgt [mm] $n_2=5$. [/mm] Als Ergebnis erhalten wir alle [mm] $n=\prod p^{n_p}$ [/mm] mit [mm] $n_2=5$, $n_3,n_5\leq [/mm] 1$ und [mm] $n_p=0$ [/mm] für alle anderen p.
> irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf die exponenten
> kommt und allgemein die faktoren in der geschweiften
> klammer?!?
Bemerkung: Damit man geschweifte Klammern in Formeln sieht musst Du [mm] $\backslash\{$ und $\backslash\}$ [/mm] eintippen!
hängt das vlt damit zusammen, dass ich p = 3, 5
> für n = 1 heraus bekommen habe? aber auch da fehlt mir die
> erklärung zum zusammenhang... ;( und überhaupt, wieso
> sind es 4 zahlen in der geschweiften klammer - hätten es
> auch mehr seien können?
Natürlich das ist rein zufällig und wenn man 8 durch eine andere Zahl ersetzt muss es für die beiden Aufgaben auch nicht gleich viele Lösungen geben.
> ich hoffe, du verstehst, was ich meine ;S
Das beantwortet wohl nicht alle deine Fragen, aber vielleicht ist es ein Anstoß und Du kannst noch mal bei konkreten Punkten nachfragen.
Gruß
Peter
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