Prä-Hilbertraum, Skalarprodukt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 01.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Beweisen Sie das [mm] C^0([a,b], \IR [/mm] oder [mm] \IC) [/mm] mit dem Skalarprodukt
(f,g) [mm] =\integral_{a}^{b}{f(x)\overline{g(x)} dx} [/mm] ein Prähilbertraum ist. |
Was genau muss ich hier machen? Muss ich nur zeigen, dass dies ein Skalarprodukt ist? Was bedeutet der Strich über g(x) ?
Wäre froh um Hinweise! Vielen Dank!
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> Beweisen Sie das [mm]C^0([a,b], \IR[/mm] oder [mm]\IC)[/mm] mit dem
> Skalarprodukt
> (f,g) [mm]=\integral_{a}^{b}{f(x)\overline{g(x)} dx}[/mm] ein
> Prähilbertraum ist.
> Was genau muss ich hier machen? Muss ich nur zeigen, dass
> dies ein Skalarprodukt ist?
Hallo,
ja, denn daß [mm] C^0([a,b]) [/mm] ein reellerbzw. komplexer VR ist, dürfte bekannt sein.
>Was bedeutet der Strich über
> g(x) ?
Ich gehe sehr stark davon aus, daß damit die Funktion gemeint ist, deren Funktionswert an der Stelle x gerade das Konjugiert-Komplexe von g(x) ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Di 01.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen, vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort!
Ich habe noch eine Frage dazu: Wie überprüfe ich diesen Raum auf Vollständigkeit? (d.h. ist es ein Hilbertraum oder nicht?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Di 01.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du musst prüfen, ob jede Cauchyfolge in dem Raum konvergent ist. Dabei solltest Du beachten:
Das Skalarprodukt induziert in natürlicher Weise eine Norm:
[mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel :=\wurzel{(f,f)}$
[/mm]
Und bzgl. dieser Norm ist dann die Frage, ob jede Cauchyfolge konvergiert, wobei man strenggenommen eigentlich meint, dass diese Norm wiederum in natürlicher Weise eine Metrik induziert:
[mm] $d(f,g):=\parallel [/mm] f-g [mm] \parallel$
[/mm]
und man bzgl. dieser Metrik dann entweder beweisen muss, dass jede Cauchyfolge konvergiert (d.h. der Prähilbertraum ist vollständig, also ein Hilbertraum), oder dass man eine Cauchyfolge angeben (bzw. konstruieren) kann, die in dem Raum nicht konvergiert (dann handelt es sich nicht um einen Hilbertraum).
Klick Dich auch mal ein wenig hier durch:
- http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum#Hilbertraum
- http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum
Also:
Eine Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $C^0([a,b],\IK)$ [/mm] (mit [mm] $\IK \in \{\IR, \IC\}$) [/mm] ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn gilt:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\sqrt{\integral_{a}^{b}{\left(f_n(x)-f_m(x)\right) \overline{\left(f_n(x)-f_m(x)\right)} dx}} \le \varepsilon$
[/mm]
(Denn:
[mm] $\parallel f_n -f_m \parallel=\sqrt{\integral_{a}^{b}{\left(f_n(x)-f_m(x)\right) \overline{\left(f_n(x)-f_m(x)\right)} dx}}$, [/mm] also:
[mm] $d(f_n,f_m)=\parallel f_n -f_m \parallel=\sqrt{\integral_{a}^{b}{\left(f_n(x)-f_m(x)\right) \overline{\left(f_n(x)-f_m(x)\right)} dx}}$ [/mm] .)
Und wenn Du beachtest, dass [mm] $z*\overline{z}=|z|^2$, [/mm] kannst Du das noch schöner schreiben:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\sqrt{\integral_{a}^{b}{|f_n(x)-f_m(x)|^2 dx}} \le \varepsilon$
[/mm]
P.S.:
Versuche, eine Cauchyfolge in [mm] $C^0([a,b],\IK)$ [/mm] anzugeben, die nicht in [mm] $C^0([a,b],\IK)$ [/mm] konvergiert. O.E. nimm meinetwegen an, dass $a=0$ und z.B. $b=2$ ...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Auch dir vielen Dank, das hilft mir sehr! Ich werde mich nun durcharbeiten.
Tausend Dank!!
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