Potenzreihenentwicklungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Gibt es eine offene Umgebung U [mm] \subseteq \IC [/mm] von 0 und eine holomorphe Funktion h: U [mm] \to \IC, [/mm] sodass für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt: [mm]h^{(n)}(0)=(-1)^n(2n)![/mm] |
Hallo
Lösung:
Behauptung: ja
Es existiert genau dann eine holomorphe Funktion h: U [mm] \to \IC [/mm] mit [mm]h^{(n)}(0)=(-1)^n(2n)![/mm], wenn sich h in der Umgebung U in eine Potenzreihe entwickeln lässt und der Konvergenzradius r dieser Potenzreihe größer 0 ist.
Es ist [mm]h(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{h^{(n)}(0)}{n!}z^n = \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(2n)!}{n!}z^n [/mm], für den Konvergenzradius r gilt damit:
[mm]0 < r = \limes_{n \rightarrow 0}\left|\frac{\frac{(-1)^n(2n)!}{n!}}{\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{(n+1)!}} \right| = \limes_{n \rightarrow 0} \left| \frac{(-1)^n(2n)!(n+1)!}{n!(-1)^{n+1}(2n+1)!} \right| = \limes_{n \rightarrow 0} \left| \frac{n+1}{-(2n+1)}=\left|-\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}[/mm] Also ist r = [mm] \frac{1}{2} [/mm] > 0 und h lässt sich in eine Potenzreihe entwickeln.
Stimmt das?
Vielen Dank!
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)
Jetzt rechne nochmal.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
Sch***** ! Danke
|
|
|
|
