Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] betrachten wir die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$, [/mm] wobei [mm] $a_{n} [/mm] := [mm] \vektor{\alpha \\ n} [/mm] := [mm] \bruch{\produkt_{i=0}^{n-1}(\alpha-i)}{\produkt_{j=1}^{n}j} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}$
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass diese Potenzreihe für alle $x$ mit $|x| < 1$ konvergiert. HInweis: Das geht z.B. mit dem Quotientenkriterium.
2. Zeigen Sie, dass die Grenzfunktion $f: ]-1,1[ [mm] \rightarrow \IR, [/mm] f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ [/mm] stetig differenzierbar ist, und die Gleichung $f'(x) = [mm] \bruch{\alpha}{1+x}f(x)$ [/mm] erfüllt.
Hinweis: Berechnen Sie die Potenzreihen-Entwicklung von [mm] $\alpha [/mm] f(x)-xf'(x)$ und vergleichen Sie diese mit der von $f'(x).$
3. Zeigen Sie, dass $f(x) = [mm] (1+x)^{\alpha}$ [/mm] für $|x|<1$ gilt. |
Also zum 1. Teil habe ich folgenden Ansatz mit dem Quotientekriterium:
Laut diesem Konvergiert [mm] $\summe a_{n}$, [/mm] falls [mm] $limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < 1$.
Bei dieser Aufgabe sieht dies folgendermaßen aus:
[mm] $limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\produkt_{i=0}^{n}(\alpha-i)}{(n+1)!} \bruch{n!}{\produkt_{i=0}^{n-1}(\alpha-i)}| [/mm] = [mm] |\bruch{\alpha-n}{n+1}|$ [/mm] (habe ich richtig gekürzt?)
Und [mm] $limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{\alpha-n}{n+1}| [/mm] = 1$
Also kann ich doch nichts über Konvergenz aussagen oder?
Habe ich irgendetwas falsch gemacht?
Für die beiden anderen Teile habe ich noch keine Idee...irgendwelche Tipps?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 01.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]\alpha \in \IR[/mm] betrachten wir die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}[/mm], wobei [mm]a_{n} := \vektor{\alpha \\ n} := \bruch{\produkt_{i=0}^{n-1}(\alpha-i)}{\produkt_{j=1}^{n}j} = \bruch{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}[/mm]
>
> 1. Zeigen Sie, dass diese Potenzreihe für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x| < 1[/mm]
> konvergiert. HInweis: Das geht z.B. mit dem
> Quotientenkriterium.
>
> 2. Zeigen Sie, dass die Grenzfunktion [mm]f: ]-1,1[ \rightarrow \IR, f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm]
> stetig differenzierbar ist, und die Gleichung [mm]f'(x) = \bruch{\alpha}{1+x}f(x)[/mm]
> erfüllt.
> Hinweis: Berechnen Sie die Potenzreihen-Entwicklung von
> [mm]\alpha f(x)-xf'(x)[/mm] und vergleichen Sie diese mit der von
> [mm]f'(x).[/mm]
>
> 3. Zeigen Sie, dass [mm]f(x) = (1+x)^{\alpha}[/mm] für [mm]|x|<1[/mm] gilt.
> Also zum 1. Teil habe ich folgenden Ansatz mit dem
> Quotientekriterium:
>
> Laut diesem Konvergiert [mm]\summe a_{n}[/mm], falls [mm]limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| < 1[/mm].
>
> Bei dieser Aufgabe sieht dies folgendermaßen aus:
>
> [mm]limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| = |\bruch{\produkt_{i=0}^{n}(\alpha-i)}{(n+1)!} \bruch{n!}{\produkt_{i=0}^{n-1}(\alpha-i)}| = |\bruch{\alpha-n}{n+1}|[/mm]
> (habe ich richtig gekürzt?)
> Und [mm]limsup_{n \rightarrow \infty} |\bruch{\alpha-n}{n+1}| = 1[/mm]
>
> Also kann ich doch nichts über Konvergenz aussagen oder?
Doch !
> Habe ich irgendetwas falsch gemacht?
Nein.
Es ist klar, dass die Potenzreihe für x= 0 konvergiert. Sei also x [mm] \ne [/mm] 0.
Mit Deinem Ergebnis von oben erhälst Du:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}|= \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}x|= [/mm] |x|$
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Potenzreihe also für |x|<1
>
> Für die beiden anderen Teile habe ich noch keine
> Idee...irgendwelche Tipps?
Bei z.B. der Hinweis !!!!
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Es ist klar, dass die Potenzreihe für x= 0 konvergiert.
> Sei also x [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Mit Deinem Ergebnis von oben erhälst Du:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}|= \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}x|= |x|[/mm]
>
> Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Potenzreihe
> also für |x|<1
Oh man, dass ich das nicht selber gesehen habe, manchmal hat man aber auch ein Brett vor dem Kopf^^
Danke erstmal, damit ist der 1. teil dann fertig.
Beim 2. Teil habe ich mir jetzt mal den Hinweis genauer angeguckt:
Ich habe erstmal [mm] $\alpha [/mm] f(x)$ und $xf'(x)$ aufgestellt.
[mm] $\alpha [/mm] f(x) = [mm] \alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n} x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}$ [/mm] ist das so richtig?
Das Ableiten einer Potenzreihe g(x) geht laut einem Satz folgendermaßen:
g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}
[/mm]
g'(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}$
[/mm]
Also bei mir dann:
$f'(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n \alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!} x^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{(n-1)!} x^{n-1}$
[/mm]
Und dann ist [mm] $\alpha [/mm] f(x) - xf'(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{(n-1)!} x^{n}$ [/mm] bzw.
[mm] $\alpha [/mm] f(x) - xf'(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n)}{(n)!} x^{n+1}$ [/mm] mit Indexverschiebung der 2. Summe.
Aber ich komme da jetzt irgendwie nicht weiter. Ich hab das Gefühl, dass mir diese Umformungen nicht weiterhelfen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 01.06.2010 | | Autor: | grobbi |
Ich denke ganz zum Schluss bei der 2. Summe ist die Indexverschiebung falsch. Müsste folgendermaßen aussehen $ [mm] \alpha [/mm] f(x) - xf'(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+2)}{(n)!} x^{n+1} [/mm] $
ist meine erste Nachricht hier :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mi 02.06.2010 | | Autor: | musesician |
> Ich denke ganz zum Schluss bei der 2. Summe ist die
> Indexverschiebung falsch. Müsste folgendermaßen aussehen
> [mm]\alpha f(x) - xf'(x) = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} - \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+2)}{(n)!} x^{n+1}[/mm]
Nene du die war schon richtig, du musst das Minus beachten!
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{(n+1)!} x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-(n+1)+1)}{(n)!} x^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n)}{(n)!} x^{n+1}$
[/mm]
Die Frage ist auch eher, ob mir die hier weiter hilft...
Naja trotzdem Glückwunsch zum 1. Beitrag!^^
Naja Gute Nacht erstmal!
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[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ n}x^n
[/mm]
[mm] f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n\vektor{\alpha \\ n}x^{n-1} [/mm]
> Ich habe erstmal [mm]\alpha f(x)[/mm] und [mm]xf'(x)[/mm] aufgestellt.
>
> [mm]\alpha f(x) = \alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n} x^{n} = \summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\alpha^{2}(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}[/mm]
> [mm]f'(x) = \summe_{n=1}^{\infty}n \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1} = \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n \alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!} x^{n-1} = \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\alpha (\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{(n-1)!} x^{n-1}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist alles richtig.
Ich finde, man kommt besser vorwärts, wenn man sich gar nicht so viel Mühe mit Umformungen gibt:
[mm] \alpha [/mm] f(x) - [mm] xf'(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\alpha\vektor{\alpha \\ n}x^n [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n\vektor{\alpha \\ n}x^{n} [/mm]
[mm] =\alpha [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\alpha\vektor{\alpha \\ n}x^n [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n\vektor{\alpha \\ n}x^{n}
[/mm]
[mm] =\alpha [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\alpha-n)\vektor{\alpha \\ n}x^n
[/mm]
[mm] (\*)
[/mm]
[mm] =\vektor{\alpha\\1}x^0 [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n+1)\vektor{\alpha \\ n+1}x^n
[/mm]
= nun noch den letzten Rest.
Bei [mm] (\*] [/mm] hilft es sicher, den Binimialkoeffizienten auszuschreiben.
Gruß v. Angela
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Danke für den Tipp Angela
2. Teil:
[mm] $\alpha [/mm] f(x) - xf(x) = [mm] \alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n} x^{n} [/mm] - x [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1} [/mm] $
[mm] $=\summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \vektor{\alpha \\ n} x^{n}$
[/mm]
[mm] $=\alpha [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \vektor{\alpha \\ n} x^{n}$
[/mm]
$= [mm] \alpha [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\alpha [/mm] - n) [mm] \vektor{\alpha \\ n} x^{n}$
[/mm]
$= [mm] \vektor{\alpha \\ 1}\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] \vektor{\alpha \\ n+1} x^{n}$
[/mm]
$= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] \vektor{\alpha \\ n+1} x^{n}$
[/mm]
$= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1} [/mm] = f'(x)$
Somit gilt: $ [mm] \alpha [/mm] f(x) - xf(x) = f'(x)$
[mm] $\alpha [/mm] f(x) = f'(x) + xf'(x)$
[mm] $\alpha [/mm] f(x) = f'(x) (1+x)$
[mm] $\bruch{\alpha}{1+x}f(x) [/mm] = f'(x)
Somit ist Teil 2 auch gelöst.
Aber woran erkenne ich, dass f(x) stetig differenzierbar ist? Geht das aus der Rechnung hervor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Tipp Angela
>
> 2. Teil:
> [mm]\alpha f(x) - xf(x) = \alpha \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n} x^{n} - x \summe_{n=1}^{\infty} n \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} - \summe_{n=1}^{\infty} n \vektor{\alpha \\ n} x^{n}[/mm]
>
> [mm]=\alpha + \summe_{n=1}^{\infty} \alpha \vektor{\alpha \\ n} x^{n} - \summe_{n=1}^{\infty} n \vektor{\alpha \\ n} x^{n}[/mm]
>
> [mm]= \alpha + \summe_{n=1}^{\infty} (\alpha - n) \vektor{\alpha \\ n} x^{n}[/mm]
>
> [mm]= \vektor{\alpha \\ 1}\summe_{n=1}^{\infty} (n+1) \vektor{\alpha \\ n+1} x^{n}[/mm]
>
> [mm]= \summe_{n=0}^{\infty} (n+1) \vektor{\alpha \\ n+1} x^{n}[/mm]
>
> [mm]= \summe_{n=1}^{\infty} n \vektor{\alpha \\ n} x^{n-1} = f'(x)[/mm]
>
> Somit gilt: [mm]\alpha f(x) - xf(x) = f'(x)[/mm]
>
> [mm]\alpha f(x) = f'(x) + xf'(x)[/mm]
>
> [mm]\alpha f(x) = f'(x) (1+x)[/mm]
>
> [mm]$\bruch{\alpha}{1+x}f(x)[/mm] = f'(x)
>
> Somit ist Teil 2 auch gelöst.
> Aber woran erkenne ich, dass f(x) stetig differenzierbar
> ist?
f ist doch als Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1 gegeben. Solche Funktionen sind auf (-1,1) beliebig oft differenzierbar !
Somit ist f' differenzierbar, also auch stetig
FRED
> Geht das aus der Rechnung hervor?
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Ja stimmt ich habe den Satz grade auch in unserem Skript gefunden:
Konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$ [/mm] für |x| < R (Konvergenzradius), so setzen wir [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$
[/mm]
Dann konvergiert (8.3) gleichmäßig auf [mm] [-R+\epsilon ,R-\epsilon] [/mm] für jede Wahl von [mm] \epsilon [/mm] > 0. Die Funktion ist stetig und differenzierbar in (-R,R), und es gilt: $f'(x) [mm] =\summe_{n=1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}$.
[/mm]
Deswegen ist die Funktion auch nur auf ]-1,1[ differenzierbar und nicht auf [-1,1].
Ich werde mir bis heute abend nochmal Teil 3 genau anschauen.
Aber ein kleiner Hinweis wäre nicht schlecht.
Vielen Dank schonmal!
musesician
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Hallo musesician,
> Ja stimmt ich habe den Satz grade auch in unserem Skript
> gefunden:
> Konvergiert die Reihe [mm]$\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$[/mm]
> für |x| < R (Konvergenzradius), so setzen wir
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$[/mm]
>
> Dann konvergiert (8.3) gleichmäßig auf [mm][-R+\epsilon ,R-\epsilon][/mm]
> für jede Wahl von [mm]\epsilon[/mm] > 0. Die Funktion ist stetig
> und differenzierbar in (-R,R), und es gilt: [mm]f'(x) =\summe_{n=1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}[/mm].
>
> Deswegen ist die Funktion auch nur auf ]-1,1[
> differenzierbar und nicht auf [-1,1].
>
> Ich werde mir bis heute abend nochmal Teil 3 genau
> anschauen.
> Aber ein kleiner Hinweis wäre nicht schlecht.
Ohne alles gelesen zu haben:
Beachte 2 und löse die Dgl. [mm] $f'(x)=\frac{\alpha}{1+x}\cdot{}f(x)$ [/mm] durch Trennung der Variablen.
(Die Konvergenz für $|x|<1$ hast du ja oben schon ...)
> Vielen Dank schonmal!
>
> musesician
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mi 02.06.2010 | | Autor: | musesician |
Falls Dgl. Differentialgleichung heißen soll, die hatten wir bisher noch nicht.
Es muss noch einen anderen Weg geben.
Ich glaub nicht das unser Prof. erwartet, dass wir das mit einer DGL lösen.
Aber trotzdem danke.
musesician
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja stimmt ich habe den Satz grade auch in unserem Skript
> gefunden:
> Konvergiert die Reihe [mm]$\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$[/mm]
> für |x| < R (Konvergenzradius), so setzen wir
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$[/mm]
>
> Dann konvergiert (8.3) gleichmäßig auf [mm][-R+\epsilon ,R-\epsilon][/mm]
> für jede Wahl von [mm]\epsilon[/mm] > 0. Die Funktion ist stetig
> und differenzierbar in (-R,R), und es gilt: [mm]f'(x) =\summe_{n=1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}[/mm].
>
> Deswegen ist die Funktion auch nur auf ]-1,1[
> differenzierbar und nicht auf [-1,1].
>
> Ich werde mir bis heute abend nochmal Teil 3 genau
> anschauen.
> Aber ein kleiner Hinweis wäre nicht schlecht.
Setze $h(x):= [mm] \bruch{f(x)}{(1+x)^{\alpha}}$ [/mm] für |x|<1
Differenziere h und zeige h ist auf (-1,1) konstant =1
FRED
> Vielen Dank schonmal!
>
> musesician
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> Setze [mm]h(x):= \bruch{f(x)}{(1+x)^{\alpha}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
für |x|<1
>
>
> Differenziere h und zeige h ist auf (-1,1) konstant =1
>
>
> FRED
Das habe ich gemacht und folgendes herausbekommen:
$h(x):= \bruch{f(x)}{(1+x)^{\alpha}$
$h'(x)= \bruch{f'(x)(1+x)^{\alpha}-f(x)\alpha(1+x)^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha}(1+x)^{\alpha}}= \bruch{f'(x)(1+x)(1+x)^{\alpha-1}-f(x)\alpha(1+x)^{\alpha-1}}{(1+x)(1+x)^{\alpha-1}(1+x)^{\alpha}} = \bruch{f'(x)(1+x)-\alpha f(x)}{(1+x)^{\alpha+1}} = \bruch{f'(x)+xf'(x)-\alpha f(x)}{(1+x)^{\alpha+1}}=\bruch{f'(x)-(\alpha f(x)-xf'(x))}{(1+x)^{\alpha+1}}$
Und nach Teil 2 gilt ja: $\alpha f(x)-xf'(x)=f'(x)$, also:
$\bruch{f'(x)-(\alpha f(x)-xf'(x))}{(1+x)^{\alpha+1}} = \bruch{f'(x)-f'(x)}{(1+x)^{\alpha+1}} = 0$
und da h' die Ableitung von h ist , muss h also konstant sein.
Außerdem gilt: $f(0)=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{\alpha \\ n} 0^{n}=\vektor{\alpha \\ 0} 0^{0} = 1$
Und außerdem $(1+x)^\alpha = 1$ für x=0
Also folgt aus h konstant und h(0)=1, dass h = 1.
Und aus h=1 folgt, dass $f(x)=(1+x)^{\alpha}$.
Ist so richtig oder? Danke für den Tipp.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Fr 04.06.2010 | | Autor: | musesician |
Damit ist die Aufgabe dann gelöst.
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe.
Da wäre ich alleine niemals drauf gekommen.
So ist es immer noch besser als gar nicht weiter zu kommen.
lg musesician
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Ich glaube ich hab durch einen Tipp den 3. Teil gelöst:
Wenn wir 3. ableiten erhalten wir: f'(x) = [mm] \alpha (1+x)^{\alpha-1} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{1+x} (1+x)^{\alpha} =\bruch{\alpha}{1+x}f(x)$ [/mm] Und dies gilt laut 2.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube ich hab durch einen Tipp den 3. Teil gelöst:
>
> Wenn wir 3. ableiten erhalten wir: f'(x) = [mm]\alpha (1+x)^{\alpha-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{\alpha}{1+x} (1+x)^{\alpha} =\bruch{\alpha}{1+x}f(x)$[/mm]
> Und dies gilt laut 2.
Das ist kein Beweis ! Du hast folgendes gemacht: sei $ g(x) := [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] $
Dann hast Du gezeigt, das f und g derselben Differentialgleichung auf (-1,1) genügen:
$y' = [mm] \bruch{\alpha}{1+x}y$.
[/mm]
Da Ihr noch keine DGLen behandelt habt und da DGLen i.a. nicht eindeutig lösbar sind, ist obiges keine Lösung des 3. Teils.
Hier: https://matheraum.de/read?i=689691 habe ich Dir einen Tipp für den 3. Teil gegeben
FRED
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