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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 05.07.2008 | | Autor: | tmspider |
| Aufgabe | Aufgabe 1: Berechnen Sie die Integrale näherungsweise mit Hilfe von Reihenentwicklungen, Fehler [mm] <=5*10^{-4} [/mm] zu berechnen:
1) [mm] \integral_{0}^{1}{sin(x)/x dx}
[/mm]
2) [mm] \integral_{0}^{1,100}{\wurzel{10-x^4} dx}
[/mm]
3) [mm] \integral_{1}^{2}{cos(x)/x dx}
[/mm]
Nach Taylor-Formel:
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x+v) = f(x) + gradf(x)*v + 1/2v*Hessf(x)v + R(v) mit [mm] 1/|v|^2 [/mm] R(v) [mm] \to [/mm] 0 für |v| [mm] \to [/mm] 0 |
Ich habe leider die Vorlesung verpasst in der wir das behandelt haben, wenn mir jemand helfen kann die Formel an zu wenden wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 1: Berechnen Sie die Integrale näherungsweise mit
> Hilfe von Reihenentwicklungen, Fehler [mm]<=5*10^{-4}[/mm] zu
> berechnen:
> 1) [mm]\integral_{0}^{1}{sin(x)/x dx}[/mm]
>
> 2) [mm]\integral_{0}^{1,100}{\wurzel{10-x^4} dx}[/mm]
>
> 3) [mm]\integral_{1}^{2}{cos(x)/x dx}[/mm]
>
> Nach Taylor-Formel:
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x+v) = f(x) + gradf(x)*v + 1/2v*Hessf(x)v +
> R(v) mit [mm]1/|v|^2[/mm] R(v) [mm]\to[/mm] 0 für |v| [mm]\to[/mm] 0
Hallo tmspider !
Für das erste Beispiel kannst du von der Sinusreihe ausgehen:
[mm] sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+\bruch{x^9}{9!}- [/mm] ...
Dividiere sie durch x und integriere die entstandene Reihe gliedweise.
Für die Abschätzung, bei welchem Term man abbrechen darf, kannst
du dir überlegen, dass es hier genügt, wenn das erste weggelassene
Glied dem Betrag nach kleiner ist als die Fehlerschranke [mm] 5*10^{-4}=\bruch{1}{2000}.
[/mm]
Beim 3. Beispiel ist es möglicherweise sinnvoll, nicht den Entwicklungspunkt
[mm] x_0=0 [/mm] zu nehmen, sondern [mm] x_0=\pi/2. [/mm] Dies liegt ja ungefähr in der
Mitte des Integrationsintervalls und liefert deshalb eine bessere Approximation !
LG
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