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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 Mo 03.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Sei f: x-> [mm] x^{2}+cos(1-x)
[/mm]
a) Entwickeln Sie f in eine Taylorreihe an der Stelle [mm] x=\pi/4 [/mm] bis zum Glied zweiter Ordnung.
b) Schätzen Sie das Restglied für [mm] x=\pi/3 [/mm] ab, d.h. [mm] R3(\pi/3). [/mm] |
Teil a) hab ich folgendermaßen gelöst:
f'(x)=2x-sin(1-x)*(-1) = 2x+sin(1-x)
f''(x)=2+cos(1-x)*(-1)=2-cos(1-x)
f'''(x)=sin(1-x)*(-1)=-sin(1-x)
[mm] f(\pi/4)=\pi/4^{2}+cos(1-\pi/4)=\pi^{2}/16+cos(1-\pi/4)
[/mm]
[mm] f'(\pi/4)=2*\pi/4+sin(1-\pi/4)=\pi/2+sin(1-\pi/4)
[/mm]
[mm] f''(\pi/4)=2-cos(1-\pi/4)
[/mm]
[mm] p(x)=(f^{0}(\pi/4)/0!)*(x-\pi/4)^{0}+(f'(\pi/4)/1!)*(x-\pi/4)^{1}+(f''(\pi/4)/2!)*(x-\pi/4)^{2}+...=
[/mm]
[mm] =(\pi^{2}/16+cos(1-\pi/4)+(\pi/2+sin(1-\pi/4))*(x-\pi/4)+(2-cos(1-\pi/4)/2)*(x-\pi/4)^{2}
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung? Gibt es eine Möglichkeit, das alles in Summen-Schreibweise darzustellen, ohne einen Taschenrechner zu benutzen(vgl. Problematik sin/und cos-Werte)?
für Teil b) würde ich folgendermaßen beginnen:
Formel für Restglied:
[mm] ((f^{k+1}(\psi))/(k+1)!)*(x-entwpkt)^{k+1}
[/mm]
also:
[mm] (f'''(\psi)/3!)*(x-\pi/3)^{3}
[/mm]
Die Gesamtlösung für b) ist dann a) + das Restglied.
Aber wie komme ich zu meinem [mm] \psi? [/mm] Bzw. was muss man da abschätzen? Wie geht man da vor?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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