Potenzreihendarstellungen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 10.12.2008 | | Autor: | grenife |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden Funktionen in einer Umgebung von 0 durch Potenzreihen dar (unter Zurückführung auf die bekannte Potenzreihe von sin bzw. ln ) und bestimmen Sie die Konvergenzradien der erhaltenen Reihen.
(1) $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C},\ f(z):=\sin(3z)+\sin z$
(2) $g:\mathbb{C}\setminus \left\{x+iy|x\geq1,y=0{\right\}\to\mathbb{C},\ g(z):=(\ln (1-z))^2$ |
Hallo zusammen,
habe mich mal an der Aufgabe versucht und wäre dankbar, wenn jemand meinen Ansatz kommentieren könnte.
zu (1):
$f=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(3z)^{2n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}3^{2n+1}z^{2n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}3^{2n+1}z^{2n+1}+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(3^{2n+1}z^{2n+1}+z^{2n+1})$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(3^{2n+1}+1)}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
Wäre ich dann an dieser Stelle für die Potenzreihendarstellung fertig, oder muss ich den Term noch weiter umformen?
zu (2):
$g=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}(1-z)^n\right)^2$
Bei dieser Reihe komme ich nicht wirklich weiter. Ich dachte erst an das Cauchy-Produkt der beiden Reihen, aber der Gedanke bringt mich an dieser Stelle vermutlich nicht weiter. Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Do 11.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Stellen Sie die folgenden Funktionen in einer Umgebung von
> 0 durch Potenzreihen dar (unter Zurückführung auf die
> bekannte Potenzreihe von sin bzw. ln ) und bestimmen Sie
> die Konvergenzradien der erhaltenen Reihen.
>
> (1) [mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C},\ f(z):=\sin(3z)+\sin z[/mm]
> (2)
> [mm]g:\mathbb{C}\setminus \left\{x+iy|x\geq1,y=0{\right\}\to\mathbb{C},\ g(z):=(\ln (1-z))^2[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> habe mich mal an der Aufgabe versucht und wäre dankbar,
> wenn jemand meinen Ansatz kommentieren könnte.
>
> zu (1):
>
> [mm]f=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(3z)^{2n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}3^{2n+1}z^{2n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}3^{2n+1}z^{2n+1}+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(3^{2n+1}z^{2n+1}+z^{2n+1})[/mm]
>
> [mm]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(3^{2n+1}+1)}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/mm]
> Wäre ich dann an dieser Stelle für die
> Potenzreihendarstellung fertig, oder muss ich den Term noch
> weiter umformen?
Du bist fertig
>
> zu (2):
>
> [mm]g=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}(1-z)^n\right)^2[/mm]
>
> Bei dieser Reihe komme ich nicht wirklich weiter. Ich
> dachte erst an das Cauchy-Produkt der beiden Reihen, aber
> der Gedanke bringt mich an dieser Stelle vermutlich nicht
> weiter. Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte.
Nimm das Cauchy-Produkt
FRED
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
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