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Potenzreihendarstellung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:51 Sa 24.10.2009
Autor: csak1162

Aufgabe
Leiten Sie die Potenzreihendarstellung von 1/sin(x) mithilfe der Bernoulli-Zahlen her.
Leiten Sie die Potenzreihendarstellung von x coth(x/2) her. Zeigen Sie, dass für |x| <1/2 gilt:  [mm] xcoth(\bruch{x}{2}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (B_{k} [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{k} \vektor{k \\ j}B_{j}) \bruch{x^{k}}{k!} [/mm]

Wie löst man so eine Aufgabe. Ich steh total auf der Leitung
falls jemand lust hat mir diese Beispiele zu erklären wäre ich sehr dankbar.



danke lg

        
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Potenzreihendarstellung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Sa 24.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

Schreib doch mal auf, was du über die Bernoulli-Zahlen weisst! Ich weiss überhuapt nicht, was in der Aufgabe an Wissen vorausgesetzt wird.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
        
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Potenzreihendarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:49 So 25.10.2009
Autor: csak1162

okay die zweite aufgabe war eine klausuraufgabe und hab ich jetzt unteranleitung gelöst

[mm] $\frac{1}{\sin(x)}$ [/mm] hab ich jetzt in [mm] $\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}$ [/mm]

umgeformt

so hab ich das bei der coth aufgabe auch gemacht

dann weiß ich nicht mehr weiter wie ich das in irgendetwas wo [mm] $\bruch{x}{e^{x}-1}$ [/mm]

vorkommt umwandle

danke lg

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Potenzreihendarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 So 25.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> okay die zweite aufgabe war eine klausuraufgabe und hab ich
> jetzt unteranleitung gelöst
>  
> [mm]\frac{1}{\sin(x)}[/mm] hab ich jetzt in
> [mm]\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}[/mm]
>  
> umgeformt
>  
> so hab ich das bei der coth aufgabe auch gemacht

Na, schreib entweder mal auf was du bei der coth-Aufgabe alles gemacht hast oder beantworte die Frage von Rainer direkt: was weisst du ueber Bernoullizahlen? Wie habt ihr sie definiert, etc?

> dann weiß ich nicht mehr weiter wie ich das in irgendetwas
> wo [mm]\bruch{x}{e^{x}-1}[/mm]

Es ist doch [mm] $\frac{1}{e^x - e^{-x}} [/mm] = [mm] \frac{e^x}{e^{2 x} - 1} [/mm] = [mm] \frac{e^x}{2 x} \cdot \frac{2 x}{e^{2 x} - 1}$: [/mm] hier hast du jetzt das [mm] $\frac{x}{e^x - 1}$ [/mm] und kannst die Formel dafuer  einsetzen und das Produkt mit der Cauchyproduktformel ausrechnen.

Bei dir hast du nun etwas aehnliches.

LG Felix


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Potenzreihendarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 So 25.10.2009
Autor: csak1162

okay

also ich hab [mm] \bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}} [/mm]

umgeschrieben zu

[mm] \bruch{2ie^{ix}}{e^{2ix}-1} [/mm]

stimmt das bis hierher???

ich hab dann mit x erweitert und komme auf

[mm] \bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x} [/mm]

[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!}*(2ix)^{k} [/mm]

*???? was ist mit den [mm] e^{ix}/k [/mm] ????



danke lg

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Potenzreihendarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 So 25.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> okay
>  
> also ich hab [mm]\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}[/mm]
>  
> umgeschrieben zu
>  
> [mm]\bruch{2ie^{ix}}{e^{2ix}-1}[/mm]
>  
> stimmt das bis hierher???
>  
> ich hab dann mit x erweitert und komme auf
>  
> [mm]\bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x}[/mm]

[ok]

> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!}*(2ix)^{k}[/mm]
>  
> *???? was ist mit den [mm]e^{ix}/k[/mm] ????

Na, es ist [mm] $\bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!} (2ix)^{k} \cdot \sum_{\ell=0}^\infty \frac{i^\ell x^{\ell - 1}}{\ell!}$. [/mm]

Du hast also das Produkt von zwei Reihen. Verwende nun das Cauchyprodukt.

LG Felix


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Potenzreihendarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 So 25.10.2009
Autor: csak1162

wie kommt man auf den zweiten Teil des Produkts???


danke lg

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Potenzreihendarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 So 25.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> wie kommt man auf den zweiten Teil des Produkts???

Das ist die Reihendarstellung der [mm] $\exp$-Funktion, [/mm] mit dem Argument $i x$ anstelle $x$, und das ganze geteilt durch $x$.

LG Felix


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