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| Aufgabe | [mm] \bruch{x}{x^{4}+1}
[/mm]
Berechnen Sie die obige Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0 und bestimmen Sie deren Konvergenzradius. Tipp: Fassen Sie x und x4+1 als Potenzreihen auf und benutzen Sie Satz 12.16 über den Quotienten von Potenzreihen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie ich bei obiger Aufgabe anfangen soll. Der zweite Teil ist mir im Prinzip klar. Ob ichs hinbekomme weiß ich aber noch nicht, weil mir nicht weiß wie ich vorher den Zähler und den Nenner als Potenzreihe auffassen kann. Hat jemand einen Tipp?
ciao, Mike.
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Hallo mikemodanoxxx,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{x}{x^{4}+1}[/mm]
> Berechnen Sie die obige Potenzreihe um den
> Entwicklungspunkt 0 und bestimmen Sie deren
> Konvergenzradius. Tipp: Fassen Sie x und x4+1 als
> Potenzreihen auf und benutzen Sie Satz 12.16 über den
> Quotienten von Potenzreihen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe leider keine Ahnung wie ich bei obiger Aufgabe
> anfangen soll. Der zweite Teil ist mir im Prinzip klar. Ob
> ichs hinbekomme weiß ich aber noch nicht, weil mir nicht
> weiß wie ich vorher den Zähler und den Nenner als
> Potenzreihe auffassen kann. Hat jemand einen Tipp?
Die Aufgabenstellung, daß man sowohl [mm]x, \ x^{4}+1[/mm] als auch
[mm]\bruch{x}{x^{4}+1}[/mm] als Potenzreihen auffassen soll.
Demnach:
[mm]x=\summe_{i=1}^{\infty}c_{i}*x^{i}[/mm] mit [mm]c_{i}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i \mbox{ =1} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm]
[mm]x^{4}+1=\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}*x^{i}[/mm] mit [mm]a_{i}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i \mbox{ =1,4} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm]
sowie
[mm]\bruch{x}{x^{4}+1}=\summe_{i=1}^{\infty}b_{i}*x^{i}[/mm]
Dann gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}c_{k}*x^{k}=\summe_{l=0}^{\infty}a_{l}*x^{l}*\summe_{m=0}^{\infty}b_{m}*x^{m}[/mm]
Nun kannst Du das Produkt der rechtsstehenden Potenzreihen mit Hilfe des ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktes ermitteln.
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> ciao, Mike.
Gruß
MathePower
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> [mm]\bruch{x}{x^{4}+1}[/mm]
> Berechnen Sie die obige Potenzreihe um den
> Entwicklungspunkt 0 und bestimmen Sie deren
> Konvergenzradius. Tipp: Fassen Sie x und x4+1 als
> Potenzreihen auf und benutzen Sie Satz 12.16 über den
> Quotienten von Potenzreihen.
Vorsicht Holzweg bzw. jedenfalls Umweg.
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> Hallo,
>
> ich habe leider keine Ahnung wie ich bei obiger Aufgabe
> anfangen soll. Der zweite Teil ist mir im Prinzip klar. Ob
> ichs hinbekomme weiß ich aber noch nicht, weil mir nicht
> weiß wie ich vorher den Zähler und den Nenner als
> Potenzreihe auffassen kann. Hat jemand einen Tipp?
[mm]\frac{x}{x^4+1}=x\cdot\frac{1}{1-(-x^4)}=x\cdot\sum_{k=0}^\infty (-x^4)^k=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{4k+1}[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen gilt wegen der bekannten Formel der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}$ [/mm] (bzw. der Potenzreihe von [mm] $\frac{1}{1-x}$, [/mm] mit [mm] $-x^4$ [/mm] anstelle von $x$.
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Hm damit gehts viel leichter. Weiß aber nicht ob wir das benutzen dürfen, schließlich sollen wir ja die Aufgabe ja so lösen wie bei der Lösung von Mathepower. Dazu hätte ich jetzt auch noch mal eine Frage:
Koeffizientenvergleich:
bei [mm] x^{0}: [/mm] 0 = 1*co -> co = 0
bei [mm] x^{1}: [/mm] 1 = 1*c1 -> c1 = 1
bei [mm] x^{4}: [/mm] 0 = 1*co + 1*c4 -> c4=0
bei [mm] x^{5}: [/mm] 0 = 1*c1 + 1*c5 -> c5 = -1
bei [mm] x^{6}: [/mm] 0 = 1*c2 + 1*c6 -> c6 = 0
bei [mm] x^{7}: [/mm] 0 = 1*c3 + 1*c7 -> c7= 0
bei [mm] x^{8}: [/mm] 0 = 1*c4 + 1*c8 -> c8 = 0
bei [mm] x^{9}: [/mm] 0 = 1*c5 + 1*c9 -> c9 = 1
Stimmt das überhaupt so? Sieht mir irgendwie seltsam aus. Außerdem würde ich hier auf keine Formel kommen für die Potenzreihe
ciao, mike.
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> Hm damit gehts viel leichter. Weiß aber nicht ob wir das
> benutzen dürfen, schließlich sollen wir ja die Aufgabe ja
> so lösen wie bei der Lösung von Mathepower.
In diesem Falle hättest Du die Frage besser bei der Antwort von Mathepower angehängt.
> Dazu hätte ich
> jetzt auch noch mal eine Frage:
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> bei [mm]x^{0}:[/mm] 0 = 1*co -> co = 0
> bei [mm]x^{1}:[/mm] 1 = 1*c1 -> c1 = 1
> bei [mm]x^{4}:[/mm] 0 = 1*co + 1*c4 -> c4=0
> bei [mm]x^{5}:[/mm] 0 = 1*c1 + 1*c5 -> c5 = -1
> bei [mm]x^{6}:[/mm] 0 = 1*c2 + 1*c6 -> c6 = 0
> bei [mm]x^{7}:[/mm] 0 = 1*c3 + 1*c7 -> c7= 0
> bei [mm]x^{8}:[/mm] 0 = 1*c4 + 1*c8 -> c8 = 0
> bei [mm]x^{9}:[/mm] 0 = 1*c5 + 1*c9 -> c9 = 1
>
> Stimmt das überhaupt so?
Ja, denn es ist, wie gesagt [mm] $\frac{x}{x^4+1}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{4k+1}$, [/mm] d.h. [mm] $c_{4k+1}=(-1)^k$.
[/mm]
> Sieht mir irgendwie seltsam aus.
> Außerdem würde ich hier auf keine Formel kommen für die
> Potenzreihe
Im Prinzip müsstest Du zuerst eine Rekursionsgleichung (aka. Differenzengleichung) für die [mm] $c_k$ [/mm] aufstellen und dann deren Lösung (= eine Zahlenfolge [mm] $c_k$ [/mm] die die Anfangsbedingung und die Differenzengleichung erfüllt) bestimmen.
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Sorry, bin noch neu hier ;)
Das mit der Rekursionsgleichung leuchtet mir aber ein..
Konvergenzradius ist somit 1 oder?
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Hallo mikemodanoxxx,
> Sorry, bin noch neu hier ;)
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> Das mit der Rekursionsgleichung leuchtet mir aber ein..
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> Konvergenzradius ist somit 1 oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt und das kannst du auch schon weiter oben in Somebody's post ersehen, wo er den "Trick" mit der geometrischen Reihe verwendet hat, dort galt Konvergenz nur für [mm] $|-x^4|<1$, [/mm] also für $|x|<1$
LG
schachuzipus
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