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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Potenzreihenansatz
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Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 20.12.2009
Autor: pandabaer

Aufgabe
Lösen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes y(x) [mm] =\summe_{k=0}^{\infty} a^k*x^k [/mm] die Differentialgleichung
y'' −4xy' [mm] +(4x^2 [/mm] − 2) y = 0.
Geben Sie mindestens die ersten fünf Glieder der
Reihe an. Können Sie daraus eine explizite Darstellung der Lösung erraten? Welche
Bedeutung haben die ersten Koeffizienten [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1? [/mm]

Hallo,

potenreihenansatz habe ich schon, ich weiß jetzt  nur nicht ob ich für die Koeffizienten 4x und [mm] (4x^2 [/mm] - 2) auch eine reihe einsetzen muss, wenns eine gibt...
gibt es dafür überhaupt potenzreihen?
grüße

        
Bezug
Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 20.12.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Lösen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes [mm]y(x) =\summe_{k=0}^{\infty} a^k*x^k[/mm] die Differentialgleichung
> [mm] y'' - 4xy' +(4x^2 − 2) y = 0[/mm].
> Geben Sie mindestens die ersten fünf Glieder der
>  Reihe an. Können Sie daraus eine explizite Darstellung
> der Lösung erraten? Welche
>  Bedeutung haben die ersten Koeffizienten [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1?[/mm]
>  Hallo,
>  
> potenreihenansatz habe ich schon, ich weiß jetzt  nur
> nicht ob ich für die Koeffizienten 4x und [mm](4x^2[/mm] - 2) auch
> eine reihe einsetzen muss, wenns eine gibt...

Nein, du musst diese Polynome in die Potenzreihen für $y'$ bzw y hineinmultiplizieren, damit du Koeffizientenvergleich machen kannst.

>  gibt es dafür überhaupt potenzreihen?

Polynome sind Potenzreihen mit endlich vielen Gliedern.

  Viele Grüße
    Rainer


Bezug
                
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 20.12.2009
Autor: pandabaer

Alles klar, super, danke!!
[mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] müssen durch ein RWP gegeben sein, sonst kann die Lösung nicht durch die Taylorreihe dargestellt werden, da die ersten glieder nicht berechnet werden können( 5 gleichungen 6 unbekannte!)

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 So 20.12.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Alles klar, super, danke!!
>  [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] müssen durch ein RWP gegeben sein, sonst kann

Nicht Rand-, sondern Anfangsbedingungen. Und welche Bedeutung haben [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] ganz konkret?

> die Lösung nicht durch die Taylorreihe dargestellt werden,
> da die ersten glieder nicht berechnet werden können( 5
> gleichungen 6 unbekannte!)

Das versteh ich überhaupt nicht, wie du auf 5 Gleichungen kommst.

Poste mal, was du gerechnet hast!

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                                
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 So 20.12.2009
Autor: pandabaer

[mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] werden benötigt um die restlichen koeffizienten für die taylorreihe zu berechnen...
die fünf gleichungen entstehen durch den koeffizientenevrgleich mit k=0,...,4
also so haben wirs bei der letzten aufgabe gemacht..
und da ich hier keine Anfangsbedingungen habe, kann ich keine der [mm] a_k [/mm] s berechnen...


Bezug
                                        
Bezug
Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 Mo 21.12.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] werden benötigt um die restlichen
> koeffizienten für die taylorreihe zu berechnen...
>  die fünf gleichungen entstehen durch den
> koeffizientenevrgleich mit k=0,...,4
>  also so haben wirs bei der letzten aufgabe gemacht..

Das ist aber keine allgemeine Lösung; du sollst eine Rekursionsformel für die Koeffizienten ableiten.

>  und da ich hier keine Anfangsbedingungen habe, kann ich
> keine der [mm]a_k[/mm] s berechnen...

Die Anfangsbedingungen sind doch [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$. [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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