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Potenzreihen und Konvergenzrad: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 So 13.05.2012
Autor: Mathematiklady

Aufgabe
Bestimme die Potenzreihen und den Konvergenzradius von:
(a) f(z) = [mm] \bruch{1-z}{1+z} [/mm] in [mm] \gamma [/mm] =0 und [mm] \gamma=1, [/mm]
(b) f(z) =  [mm] \bruch{cos z-1}{z^{2}} [/mm] in [mm] \gamma [/mm] =0

Hallo,

also ich habe momentan meine schwierigkeiten mit solchen Aufgaben, könnt ihr mir vielleicht ein paar tipps geben, wie ich am besten vorgehen sollte.

Danke schon mal.

        
Bezug
Potenzreihen und Konvergenzrad: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Mo 14.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme die Potenzreihen und den Konvergenzradius von:
> (a) f(z) = [mm]\bruch{1-z}{1+z}[/mm] in [mm]\gamma[/mm] =0 und [mm]\gamma=1,[/mm]
> (b) f(z) = [mm]\bruch{cos z-1}{z^{2}}[/mm] in [mm]\gamma[/mm] =0
> Hallo,
>
> also ich habe momentan meine schwierigkeiten mit solchen
> Aufgaben, könnt ihr mir vielleicht ein paar tipps geben,
> wie ich am besten vorgehen sollte.

worin bestehen denn deine Schwierigkeiten? Das solltest du in jedem Fall näher ausführen!

Fange doch mal mit Aufgabe b) an. Die Potenzreihe der komplexen Kosinusfunktion kennst du? Was passiert mit dieser Reihe, wenn man

- 1 subtrahiert
- durch [mm] z^2 [/mm] dividiert

?

Jetzt davon noch den Konvergenzradius 'ausrechnen' (kennen solltest du ihn bereits!) und du bist hier fertig.

Bei Aufgabe a) musst du den Funktionsterm zusätzlich zuerst noch in eine Potenzreihe entwickeln, ist dir da vielleiocht etwas unklar dabei?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Potenzreihen und Konvergenzrad: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Mo 14.05.2012
Autor: Mathematiklady

Ok. Wenn ich dich richtig  verstanden habe, dann müsste diie Potenzreihe von b so lauten :

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{(2n)!}{(2n)!*z^{2}} [/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{1}{z^{2}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihen und Konvergenzrad: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Mo 14.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Mathelady,


> Ok. Wenn ich dich richtig  verstanden habe, dann müsste
> diie Potenzreihe von b so lauten :
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{(2n)!}{(2n)!*z^{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{-1^{n}*z^{n}}{(2n)!}-\bruch{1}{z^{2}}[/mm]
>  

Es ist [mm]\cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]

Also [mm]\cos(z)-1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]

Damit [mm]\frac{\cos(z)-1}{z^2}=\frac{1}{z^2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{z^{2n-2}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{\left(z^2\right)^{n-1}}{(2n)!}[/mm]

[mm]=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{\left(z^2\right)^n}{(2n+2)!}[/mm]

Gruß

schachuzipus


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